Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu, x^2 + 1 ile kalansız bölünebilmek… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomu, $x^2 + 1$ ile kalansız bölünebilmektedir.

$P(2x - 1)$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan $40$ olduğuna göre, $P(0)$ değeri kaçtır?

Polinom

P(x) = (x^2 + 1)(x + 1)

şeklinde doğru kurulup

P(3) = 40

eşitliğiyle bilinmeyen katsayı

d = 1

olarak bulunmuştur.

P(0)

değeri ise

1

olarak hesaplanır.

Polinomun genel formunu oluşturma

P(x) = (x^2 + 1)(x + d)

P(x)

üçüncü dereceden, baş katsayısı

1

olan ve

x^2 + 1

ile tam bölünen bir polinom olduğundan, bölüm polinomu birinci dereceden ve baş katsayısı

1

olan

x + d

formunda olmalıdır.

Verilen kalan bilgisini kullanma

P(3) = 40

P(2x - 1)

polinomunun

x - 2

ile bölümünden kalanı bulmak için

x - 2 = 0 \implies x = 2

değeri polinomda yerine yazılır. Buradan

P(2 \cdot 2 - 1) = P(3) = 40

elde edilir.

Polinomdaki bilinmeyen katsayıyı bulma

d = 1

P(3) = (3^2 + 1)(3 + d) = 40 \implies 10(3 + d) = 40 \implies 3 + d = 4 \implies d = 1

bulunur.

P(0)

değerini hesaplama

P(0) = 1

Polinom

P(x) = (x^2 + 1)(x + 1)

olarak belirlenmiş olur.

x = 0

için

P(0) = (0^2 + 1)(0 + 1) = 1 \cdot 1 = 1

elde edilir.

Polinomlarda kalan bulmada bölünen ve bölen arasındaki ilişkiyi kurarak derece ve katsayı özelliklerinden faydalanma.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru