Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Bir sayı doğrusu üzerinde yer alan aa ve bb gerçel sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıkları eşittir.

aa sayısının 33 noktasına olan uzaklığı, bb sayısının −1-1 noktasına olan uzaklığının 22 katına eşittir.

Buna göre, aa'nın alabilece��i tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. -6Cevap
  2. B
    -4
  3. C
    -5
  4. D
    -1
  5. E
    -3

Cevap

a sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı -6'dır.
Doğru cevap −6-6'dır. aa ve bb gerçel sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıkları eşit olduğu için ∣a∣=∣b∣|a| = |b| yazılır, bu da bize b=ab = a veya b=−ab = -a olduğunu gösterir. Verilen uzaklık ilişkisinden ∣a−3∣=2∣b+1∣|a - 3| = 2|b + 1| denklemi kurulur. b=ab = a için denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden tam sayı olanı −5-5'tir. b=−ab = -a için denklem çözüldüğünde elde edilen köklerden tam sayı olanı −1-1'dir. Bu iki tam sayının toplamı −6-6 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
a ve b sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının eşitliğini mutlak değer sembolüyle ifade edin.
∣a∣=∣b∣|a| = |b| eşitliği elde edilir. Buradan b=ab = a veya b=−ab = -a durumları ortaya çıkar.
Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı o sayının mutlak değerine eşittir.
2
a sayısının 3 noktasına, b sayısının -1 noktasına olan uzaklıkları arasındaki ilişkiyi denklem haline getirin.
∣a−3∣=2∣b−(−1)∣⇒∣a−3∣=2∣b+1∣|a - 3| = 2|b - (-1)| \Rightarrow |a - 3| = 2|b + 1| denklemi elde edilir.
İki sayı arasındaki uzaklık, farklarının mutlak değeriyle hesaplanır.
3
b = a durumunu ana denklemde yerine yazarak a değerlerini bulun.
∣a−3∣=2∣a+1∣|a - 3| = 2|a + 1| denklemi çözüldüğünde:
1) a−3=2(a+1)⇒a−3=2a+2⇒a=−5a - 3 = 2(a + 1) \Rightarrow a - 3 = 2a + 2 \Rightarrow a = -5 (Tam sayı)
2) a−3=−2(a+1)⇒a−3=−2a−2⇒3a=1⇒a=1/3a - 3 = -2(a + 1) \Rightarrow a - 3 = -2a - 2 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow a = 1/3 (Tam sayı değil)
Mutlak değerli iki ifadenin eşitliğinde ifadeler doğrudan birbirine eşitlenebilir ya da biri diğerinin negatiflisine eşitlenebilir.
4
b = -a durumunu ana denklemde yerine yazarak a değerlerini bulun.
∣a−3∣=2∣−a+1∣=2∣a−1∣|a - 3| = 2|-a + 1| = 2|a - 1| denklemi çözüldüğünde:
1) a−3=2(a−1)⇒a−3=2a−2⇒a=−1a - 3 = 2(a - 1) \Rightarrow a - 3 = 2a - 2 \Rightarrow a = -1 (Tam sayı)
2) a−3=−2(a−1)⇒a−3=−2a+2⇒3a=5⇒a=5/3a - 3 = -2(a - 1) \Rightarrow a - 3 = -2a + 2 \Rightarrow 3a = 5 \Rightarrow a = 5/3 (Tam sayı değil)
Mutlak değer içerisindeki negatif işaretin dışarıya pozitif etki etmesi prensibiyle ∣−a+1∣=∣a−1∣|-a + 1| = |a - 1| eşitliği kullanılır.
5
Elde edilen a gerçel sayılarından tam sayı olanlarını belirleyip toplayın.
aa değerleri −5,1/3,−1,5/3-5, 1/3, -1, 5/3 olup bunlardan tam sayı olanlar −5-5 ve −1-1'dir. Toplamları ise (−5)+(−1)=−6(-5) + (-1) = -6 bulunur.
Soruda sadece tam sayı değerlerin toplamı istendiğinden rasyonel kökler elenir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru