Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir meyve suyu barında müşterilere bardak boyutları kü��ük, orta ve büyük olmak üzere üç farklı seçenekte portakal suyu sunulmaktadır. Bu bardakların hacimleri sırasıyla 200 ml200\text{ ml}, 300 ml300\text{ ml} ve 500 ml500\text{ ml}'dir.

Bir günün sonunda bu bar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Satılan toplam küçük ve orta boy bardak sayısı, satılan büyük boy bardak sayısının 33 katıdır.
* Bu üç boy bardakta satılan toplam portakal suyu miktarı 4444 litredir.

Buna göre, gün sonunda satılan orta boy bardak sayısı en çok kaç olabilir?

  1. A
    15
  2. B
    22
  3. 88Cevap
  4. D
    94
  5. E
    99

Cevap

88
Doğru cevap olan seçenekteki değer (8888), kurulan 11x+14y=132011x + 14y = 1320 denkleminde yy'nin alabileceği, bardak sayılarının tam sayı ve sıfırdan büyük ya da eşit olma koşullarını sağlayan en büyük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük, orta ve büyük boy bardak sayılarını sırasıyla xx, yy ve zz değişkenleri ile tanımlayarak verilen ilişkileri denkleme dökelim.
Satılan bardak sayıları arasında x+y=3zx + y = 3z ilişkisi vardır. Toplam hacim ise 200x+300y+500z=44000 ml200x + 300y + 500z = 44000\text{ ml} olarak yazılır. Bu denklem sadeleştirilirse 2x+3y+5z=4402x + 3y + 5z = 440 elde edilir.
Sözel ifadeleri matematiksel eşitlikler halinde ifade etmek çözümün ilk adımıdır.
2
İlk denklemdeki zz ifadesini çekip ikinci denklemde yerine yazarak iki bilinmeyenli bir denklem elde edelim.
z=x+y3z = \frac{x+y}{3} ifadesini hacim denkleminde yerine yazarsak: 2x+3y+5(x+y3)=4402x + 3y + 5\left(\frac{x+y}{3}\right) = 440 olur. Denklemin her iki tarafı 33 ile çarpıldığında 6x+9y+5x+5y=1320  ⟹  11x+14y=13206x + 9y + 5x + 5y = 1320 \implies 11x + 14y = 1320 elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak sınır koşullarını uygulayabileceğimiz iki bilinmeyenli bir Diofant denklemi oluşturmak amaçlanır.
3
11x+14y=132011x + 14y = 1320 denkleminde yy değerini en büyük yapacak ve x,y,zx, y, z değerlerinin pozitif tam sayı olmasını sağlayacak çözümü arayalım.
13201320 sayısı 1111'in katı olduğu için (11×12011 \times 120), 14y14y ifadesi de 1111'in bir katı olmalıdır. Buradan y=11ky = 11k yazılabilir. Denklemde yerine yazarsak 11x+14(11k)=1320  ⟹  x+14k=12011x + 14(11k) = 1320 \implies x + 14k = 120 olur. x≥0x \geq 0 olması gerektiğinden 14k≤12014k \leq 120 koşulunu sağlayan en büyük kk tam sayısı 88 olarak bulunur. Bu durumda y=11×8=88y = 11 \times 8 = 88 ve x=120−112=8x = 120 - 112 = 8 olur. Buradan z=8+883=32z = \frac{8+88}{3} = 32 tam sayısı elde edilir.
Bardak adetlerinin tam sayı olma zorunluluğu ve sıfırdan büyük veya eşit olması sınır koşulu kullanılarak en büyük yy değeri belirlenir.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri ve Diofant Denklemleri

Alternatif Yöntem

Denklemler elde edildikten sonra seçeneklerdeki en büyük değerden başlanarak yy yerine yazılır. yy değeri yerine yazıldığında, hem 11x+14y=132011x + 14y = 1320 denklemini sağlayan xx değerinin hem de z=x+y3z = \frac{x+y}{3} denklemini sağlayan zz değerinin birer pozitif tam sayı olduğu kontrol edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru