Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda A, B ve C olmak üzere üç farklı tipte toplam 6060 adet şarj ünitesi bulunmaktadır. Bu ünitelerin her birinin 11 saatlik elektrik tüketimi sırasıyla 10 kWh10\text{ kWh}, 25 kWh25\text{ kWh} ve 15 kWh15\text{ kWh}'tir.

Bu istasyonla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* İstasyondaki her bir tip şarj ünitesinden en az birer adet bulunmaktadır.
* İstasyondaki tüm şarj üniteleri aynı anda ve tam kapasiteyle 44 saat çalıştırıldığında toplam 3800 kWh3800\text{ kWh} elektrik enerjisi tüketilmektedir.
* B tipi şarj ünitesi sayısı, A tipi şarj ünitesi sayısından fazladır.

Buna göre, bu istasyondaki C tipi şarj ünitesi sayısı en fazla kaç olabilir?

  1. A
    40
  2. B
    46
  3. C
    49
  4. 52Cevap
  5. E
    55

Cevap

C tipi şarj ünitesi sayısı en fazla 52 olabilir.
C tipi şarj ünitesi sayısının 52 olması durumunda, A tipi ünite sayısı 2, B tipi ünite sayısı ise 6 olur. Bu durum, toplam ünite sayısının 60 olması, toplam elektrik tüketiminin 4 saatte 3800 kWh olması ve B tipi ünite sayısının A tipi ünite sayısından fazla olması koşullarının tamamını sağlar. Yapılan sınır analizi sonucunda, bu koşulları sağlayan en büyük C tipi ünite sayısı 52 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İstasyondaki A, B ve C tipi şarj ünitelerinin sayılarını sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirleyip denklem sistemini kuralım.
a+b+c=60a + b + c = 60 ve 4⋅(10a+25b+15c)=38004 \cdot (10a + 25b + 15c) = 3800 denklemleri elde edilir. İkinci denklem düzenlendiğinde 10a+25b+15c=950  ⟹  2a+5b+3c=19010a + 25b + 15c = 950 \implies 2a + 5b + 3c = 190 olur.
Soruda verilen toplam ünite sayısı ve 4 saatlik toplam elektrik tüketimini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklemden aa değişkenini yok ederek bb ve cc arasındaki ilişkiyi bulalım.
a=60−b−ca = 60 - b - c ifadesini 2a+5b+3c=1902a + 5b + 3c = 190 denkleminde yerine yazarsak, 2(60−b−c)+5b+3c=190  ⟹  120−2b−2c+5b+3c=190  ⟹  3b+c=702(60 - b - c) + 5b + 3c = 190 \implies 120 - 2b - 2c + 5b + 3c = 190 \implies 3b + c = 70 bulunur.
Değişken sayısını azaltıp bb ve cc arasındaki bağımlılığı incelemek için.
3
Bulunan 3b+c=703b + c = 70 eşitliğinden bb ve aa değerlerini cc cinsinden ifade edelim.
b=70−c3b = \frac{70 - c}{3} ve a=60−b−c=60−70−c3−c=110−2c3a = 60 - b - c = 60 - \frac{70-c}{3} - c = \frac{110 - 2c}{3} elde edilir.
b>ab > a eşitsizliğini ve pozitif tam sayı olma koşullarını cc değişkeni üzerinden inceleyebilmek için.
4
b>ab > a koşulunu ve a≥1a \ge 1 koşulunu kullanarak cc için değer aralığı belirleyelim.
b>a  ⟹  70−c3>110−2c3  ⟹  70−c>110−2c  ⟹  c>40b > a \implies \frac{70 - c}{3} > \frac{110 - 2c}{3} \implies 70 - c > 110 - 2c \implies c > 40 elde edilir. Ayrıca a≥1  ⟹  110−2c3≥1  ⟹  110−2c≥3  ⟹  2c≤107  ⟹  c≤53.5a \ge 1 \implies \frac{110 - 2c}{3} \ge 1 \implies 110 - 2c \ge 3 \implies 2c \le 107 \implies c \le 53.5 elde edilir.
C tipi şarj ünitesi sayısının alabileceği sınır değerleri belirlemek için.
5
40<c≤53.540 < c \le 53.5 aralığında, bb ve aa değerlerini tam sayı yapacak en büyük cc tam sayısını bulalım.
b=70−c3b = \frac{70 - c}{3} ifadesinin tam sayı olması için 70−c70 - c ifadesi 3'ün katı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve belirlenen aralıkta olan cc değerleri 43,46,49,5243, 46, 49, 52'dir. Bunlar arasından en büyük olan c=52c = 52 olarak bulunur.
Şarj ünitesi sayılarının tam sayı olması gerektiğinden, sınır koşulları altındaki en büyük tam sayı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemlerinde Denklem Kurma ve Sınır Değer Analizi
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru