Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir okul kütüphanesindeki roman ve ansiklopediler, hacimleri farklı küçük ve büyük boy kolilerle taşınacaktır.

* Küçük boy koliye sadece roman konulursa 1212 adet, sadece ansiklopedi konulursa 88 adet sığmaktadır.
* Büyük boy koliye sadece roman konulursa 2020 adet, sadece ansiklopedi konulursa 1515 adet sığmaktadır.

Bu taşıma işleminde koliler tamamen doldurulmuş ve her iki koli tipi de hem roman hem de ansiklopedi taşımak için en az birer kez kullanılmıştır.

Taşıma işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Sadece ansiklopedi taşınan koli sayısı, sadece roman taşınan koli sayısının 22 katıdır.
* Taşınan toplam roman sayısı, taşınan toplam ansiklopedi sayısına eşittir.

Buna göre, bu taşıma işleminde kullanılan toplam koli sayısı en az kaçtır?

  1. A
    21
  2. B
    24
  3. 27Cevap
  4. D
    30
  5. E
    33

Cevap

Toplam koli sayısı en az 27 olmalıdır.
Denklemler doğru kurulup yerine koyma metodu uygulandığında 4(y−x)=7w4(y - x) = 7w elde edilir. Değişkenlerin pozitif tam sayı olması kısıtıyla w=4w = 4, x=1x = 1, y=8y = 8 ve z=14z = 14 bulunur. Bu değerlerin toplamı en az 27 koli yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Koli sayılarını değişkenlerle ifade edip kısıtları belirleme
Roman taşınan küçük koli sayısı xx, büyük koli sayısı yy; ansiklopedi taşınan küçük koli sayısı zz, büyük koli sayısı ww olsun. Soruda verilen kısıt gereği x,y,z,w≥1x, y, z, w \geq 1 tam sayılardır.
Soruda her iki koli tipinin de hem roman hem de ansiklopedi taşımak için en az bir kez kullanıldığı belirtilmiştir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma
Ansiklopedi taşınan koli sayısı, roman taşınan koli sayısının 2 katı olduğundan: z+w=2(x+y)z + w = 2(x + y) olur. Toplam roman sayısı toplam ansiklopedi sayısına eşit olduğundan: 12x+20y=8z+15w12x + 20y = 8z + 15w olur.
Sorudaki sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dönüştürmek gerekir.
3
Denklem sistemini çözme ve değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma
Birinci denklemden z=2x+2y−wz = 2x + 2y - w çekilip ikinci denklemde yerine yazılırsa: 12x+20y=8(2x+2y−w)+15w⇒12x+20y=16x+16y+7w12x + 20y = 8(2x + 2y - w) + 15w \Rightarrow 12x + 20y = 16x + 16y + 7w elde edilir. Buradan 20y−16y=16x−12x+7w⇒4(y−x)=7w20y - 16y = 16x - 12x + 7w \Rightarrow 4(y - x) = 7w bulunur.
Farklı koli sayıları arasındaki ilişkiyi tek bir eşitlikte birleştirmek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
En küçük tam sayı değerlerini belirleme
4(y−x)=7w4(y - x) = 7w eşitliğinde ww sayısı 4'ün katı olmalıdır. En az koli sayısı için w=4w = 4 seçilir. Buradan y−x=7⇒y=x+7y - x = 7 \Rightarrow y = x + 7 olur. x≥1x \geq 1 kısıtından dolayı en az koli için x=1x = 1 alınırsa y=8y = 8 olur. Bu değerler zz denkleminde yerine yazılırsa z=2(1)+2(8)−4=14z = 2(1) + 2(8) - 4 = 14 bulunur.
Koli sayılarının pozitif tam sayı olması gerektiğinden, minimum toplam koli sayısını verecek en küçük değerler seçilir.
5
Toplam koli sayısını hesaplama
T=x+y+z+w=1+8+14+4=27T = x + y + z + w = 1 + 8 + 14 + 4 = 27 bulunur.
Kullanılan tüm kolilerin toplam sayısı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen kısıtlar altında doğrusal denklem ve diofant denklem sistemlerinin kurulması ve çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru