Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
Kökleri sırasıyla x1x_1 ve x2x_2 olan
x2−(m+3)x+4=0x^2 - (m+3)x + 4 = 0
ikinci dereceden denklemi veriliyor.
x1+x2=3\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3
olduğuna göre, mm gerçel sayısı kaçtır?
  1. A
    -8
  2. B
    -2
  3. 2Cevap
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

Köklerin karesi alınarak kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkisi doğru kurulduğunda elde edilen gerçel sayı değeri 2'dir.
Kökleri x1x_1 ve x2x_2 olan x2−(m+3)x+4=0x^2 - (m+3)x + 4 = 0 denkleminde kökler toplamı x1+x2=m+3x_1 + x_2 = m + 3 ve kökler çarpımı x1⋅x2=4x_1 \cdot x_2 = 4 olur. Verilen x1+x2=3\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında x1+x2+2x1⋅x2=9x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2} = 9 elde edilir. Bu eşitlikte kök-katsayı bağıntıları yerine yazıldığında (m+3)+24=9  ⟹  m+3+4=9  ⟹  m=2(m+3) + 2\sqrt{4} = 9 \implies m + 3 + 4 = 9 \implies m = 2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci dereceden denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini yazıp denklem katsayılarını yerleştirmek.
x1+x2=m+3x_1 + x_2 = m + 3 ve x1⋅x2=4x_1 \cdot x_2 = 4 olarak bulunur.
Kök-katsayı ilişkisini kullanarak verilen denklemdeki mm parametresi ile kökler arasındaki bağlantıyı kurmak.
2
Verilen x1+x2=3\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesini almak.
(x1+x2)2=32  ⟹  x1+x2+2x1⋅x2=9(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 3^2 \implies x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2} = 9 elde edilir.
Köklerin kareköklerinden kurtulup kökler toplamı ve kökler çarpımı ifadelerini elde etmek.
3
Bulunan x1+x2=m+3x_1 + x_2 = m + 3 ve x1⋅x2=4x_1 \cdot x_2 = 4 değerlerini karesi alınan eşitlikte yerine yazarak mm değerini çözmek.
(m+3)+24=9  ⟹  m+3+4=9  ⟹  m+7=9  ⟹  m=2(m+3) + 2\sqrt{4} = 9 \implies m + 3 + 4 = 9 \implies m + 7 = 9 \implies m = 2 olarak bulunur.
mm değerini yalnız bırakarak bilinmeyen parametrenin değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri