Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Elemanları harflerden ve bu harflerle oluşturulan kümelerden meydana gelen bir KK kümesi
K={a,{a},b,{a,b},{b,c}}K = \{ a, \{a\}, b, \{a, b\}, \{b, c\} \}
olarak veriliyor.
Buna göre,
I. {a}∈K\{a\} \in K ve {a}⊂K\{a\} \subset K
II. {a,b}∈K\{a, b\} \in K ve {a,b}⊂K\{a, b\} \subset K
III. {b,c}∈K\{b, c\} \in K ve {b,c}⊂K\{b, c\} \subset K
ifadelerinden hangileri doğrudur?
  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
I ve II öncüllerindeki ifadelerin her ikisi de doğrudur. {a}∈K\{a\} \in K ifadesi doğrudur çünkü {a}\{a\} kümede doğrudan bir eleman olarak bulunur; {a}⊂K\{a\} \subset K ifadesi de doğrudur çünkü a∈Ka \in K olup bu elemandan oluşan tek elemanlı küme alt kümedir. Benzer şekilde, {a,b}∈K\{a, b\} \in K ifadesi doğrudur çünkü {a,b}\{a, b\} kümede bir elemandır; {a,b}⊂K\{a, b\} \subset K ifadesi de doğrudur çünkü a∈Ka \in K ve b∈Kb \in K olup bu elemanlardan oluşan küme alt kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
KK kümesinin eleman sayısını ve elemanlarını belirleyelim.
KK kümesinin elemanları: aa, {a}\{a\}, bb, {a,b}\{a, b\} ve {b,c}\{b, c\} olmak üzere 5 tanedir.
Kümelerdeki her bir virgül arası ifade bir elemanı temsil eder.
2
I. öncülü inceleyelim: {a}∈K\{a\} \in K ve {a}⊂K\{a\} \subset K ifadelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
{a}\{a\}, KK kümesinin bir elemanıdır, dolayısıyla {a}∈K\{a\} \in K doğrudur. Ayrıca, a∈Ka \in K olduğundan, bu elemanı içeren tek elemanlı alt küme olan {a}⊂K\{a\} \subset K ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Bir kümenin elemanı süslü parantez içine alınarak alt küme oluşturulur.
3
II. öncülü inceleyelim: {a,b}∈K\{a, b\} \in K ve {a,b}⊂K\{a, b\} \subset K ifadelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
{a,b}\{a, b\}, KK kümesinin bir elemanıdır, dolayısıyla {a,b}∈K\{a, b\} \in K doğrudur. Ayrıca, a∈Ka \in K ve b∈Kb \in K olduğundan, bu iki elemanın oluşturduğu {a,b}\{a, b\} kümesi KK'nin bir alt kümesidir, yani {a,b}⊂K\{a, b\} \subset K ifadesi de doğrudur. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
İki eleman da kümede yer aldığından, bu elemanların oluşturduğu küme de alt kümedir.
4
III. öncülü inceleyelim: {b,c}∈K\{b, c\} \in K ve {b,c}⊂K\{b, c\} \subset K ifadelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
{b,c}\{b, c\}, KK kümesinin bir elemanıdır, dolayısıyla {b,c}∈K\{b, c\} \in K doğrudur. Ancak {b,c}⊂K\{b, c\} \subset K olması için b∈Kb \in K ve c∈Kc \in K olmalıdır. KK kümesinin elemanları arasında tek başına cc harfi bulunmamaktadır (c∉Kc \notin K). Bu nedenle {b,c}⊂K\{b, c\} \subset K ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.
Alt küme ilişkisinde kümenin içindeki her bir elemanın ana kümede de tek başına bulunması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir kümede eleman olma ve alt küme olma kavramlarının sembolik gösterimi ve farkı.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru