Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir tarım kooperatifinde üretilen 84 ton buğday, her birinde eşit miktarda buğday olacak şekilde iki basamaklı abab adet siloya doldurulacaktır. Görevli, silo sayısını sisteme girerken yanlışlıkla onlar ve birler basamağının yerini değiştirerek baba olarak yazmış ve silo başına düşen buğday miktarını olması gerekenden 3 ton daha az hesaplamıştır.

Buna göre, buğdaylar��n doldurulacağı gerçek silo sayısı kaçtır?

  1. A
    14
  2. B
    28
  3. 12Cevap
  4. D
    21
  5. E
    18

Cevap

Gerçek silo sayısı 12'dir.
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda kurulan rasyonel denklem çözüldüğünde, abab iki basamaklı sayısının 12 olduğu ve bu değerin tüm koşulları (bölüm farkının 3 olması ve basamak çözümleme kuralları) sağladığı görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Gerçek ve hatalı silo sayılarını tanımlayarak silo başına düşen buğday miktarlarını belirten denklemi kurma.
Gerçek silo sayısı ab=10a+bab = 10a + b iken silo başına düşen gerçek miktar 84ab\frac{84}{ab} ton olur. Hatalı silo sayısı ba=10b+aba = 10b + a iken hesaplanan miktar 84ba\frac{84}{ba} ton olur. Denklem: 84ba=84ab−3\frac{84}{ba} = \frac{84}{ab} - 3 şeklindedir.
Silo sayısı değiştikçe birim silo başına düşen miktar ters orantıl�� olarak değişir ve aradaki fark 3 tondur.
2
Denklemi sadeleştirme ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesini kullanma.
84ab−84ba=3  ⟹  84⋅(1ab−1ba)=3  ⟹  1ab−1ba=128\frac{84}{ab} - \frac{84}{ba} = 3 \implies 84 \cdot \left(\frac{1}{ab} - \frac{1}{ba}\right) = 3 \implies \frac{1}{ab} - \frac{1}{ba} = \frac{1}{28} elde edilir. Buradan ba−abab⋅ba=128\frac{ba - ab}{ab \cdot ba} = \frac{1}{28} olur. Basamak çözümlemesi yapıldığında ba−ab=9(b−a)ba - ab = 9(b-a) olduğundan 9(b−a)ab⋅ba=128  ⟹  ab⋅ba=252(b−a)\frac{9(b-a)}{ab \cdot ba} = \frac{1}{28} \implies ab \cdot ba = 252(b-a) denklemine ulaşılır.
İki basamaklı sayıların farkı basamak çözümlemesiyle daha basit bir biçimde ifade edilebilir.
3
Rakam değerlerini yerine koyarak denklemi sağlayan değerleri bulma.
b−a=1b - a = 1 varsayımı altında ab⋅ba=252ab \cdot ba = 252 olur. ab=10a+bab = 10a + b ve ba=10b+aba = 10b + a olup ba=ab+9ba = ab + 9 yazılabilir. Buradan ab⋅(ab+9)=252  ⟹  ab2+9ab−252=0ab \cdot (ab + 9) = 252 \implies ab^2 + 9ab - 252 = 0 elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (ab−12)(ab+21)=0(ab - 12)(ab + 21) = 0 olur. Pozitif tam sayı çözümü ab=12ab = 12 olarak bulunur. b−a=2−1=1b - a = 2 - 1 = 1 koşulu da sağlanmaktadır.
Koşulları sağlayan tek haneli aa ve bb rakamlarını ve dolayısıyla gerçek silo sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve iki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yoluyla, 84'ün iki basamaklı bölenleri (12, 14, 21, 28, 42, 84) incelenebilir. Bu bölenlerden tersi alındığında da makul bir bölme işlemi veren ve farkı 3 olan çift 12 ve 21'dir. Gerçekten de 84/12=784/12 = 7 ve 84/21=484/21 = 4 olup fark 7−4=37 - 4 = 3 olur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru