Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Bir laboratuvarda kullanılan hassas termometre, ortamın gerçek sıcaklığı TT °C iken ölçüm değerini MM °C olarak göstermektedir. Bu termometrenin ölçümündeki hata miktarı sabit olup ∣T−M∣|T - M| değeri ile hesaplanmaktadır.

Termometre ortam sıcaklığını 1818 °C olarak ölçtüğünde, ortamın gerçek sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin çarpımı 288288 olmaktadır.

Buna göre, bu termometrenin ölçümündeki hata miktarı kaç °C'dir?

  1. A
    4
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    12
  5. E
    36

Cevap

Termometrenin ölçümündeki hata miktarı 6 °C'dir.
Doğru cevap olan seçenekte hata miktarı 6 olarak belirtilmiştir. ∣T−18∣=e|T - 18| = e eşitliğinden gerçek sıcaklık değerleri 18−e18-e ve 18+e18+e şeklinde yazılır. Bu iki değerin çarpımı (18−e)(18+e)=324−e2=288(18-e)(18+e) = 324 - e^2 = 288 denklemini verir. Buradan e2=36e^2 = 36 bulunur. Hata payı uzaklık belirttiğinden negatif olamaz ve karekökü alındığında e=6e = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Ölçüm değeri olan M=18M = 18 değerini hata miktarı formülünde yerine yazıp denklemi kurmak.
∣T−18∣=e|T - 18| = e denklemi elde edilir (burada ee hata miktarını temsil eder ve e≥0e \geq 0 olmalıdır).
Gerçek sıcaklık TT ile ölçülen sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri hata miktarını verir.
2
Mutlak değerli denklemi çözerek gerçek sıcaklığın (TT) alabileceği farklı değerleri ee cinsinden ifade etmek.
T−18=e⇒T1=18+eT - 18 = e \Rightarrow T_1 = 18 + e veya T−18=−e⇒T2=18−eT - 18 = -e \Rightarrow T_2 = 18 - e değerleri bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifade pozitif veya negatif değer alarak dışarı çıkabilir.
3
Gerçek sıcaklığın alabileceği farklı değerlerin çarpımını 288288 değerine eşitlemek ve iki kare farkı özdeşliğini uygulamak.
T1⋅T2=(18+e)(18−e)=288⇒182−e2=288T_1 \cdot T_2 = (18 + e)(18 - e) = 288 \Rightarrow 18^2 - e^2 = 288 denklemi elde edilir.
Soruda gerçek sıcaklık değerlerinin çarpımının 288288 olduğu belirtilmiştir.
4
182=32418^2 = 324 değerini yerine yazarak ee bilinmeyenini çözmek.
324−e2=288⇒e2=36⇒e=6324 - e^2 = 288 \Rightarrow e^2 = 36 \Rightarrow e = 6 (hata miktarı negatif olamayacağı için e=6e = 6 alınır) elde edilir.
Ende edilen karesel denklem çözülerek hata miktarı belirlenir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir denklemin köklerinin bulunması ve mutlak değerin uzaklık/hata payı olarak yorumlanması

Alternatif Yöntem

İkinci dereceden denklem kök ilişkisi de kullanılabilir. Kökleri T1T_1 ve T2T_2 olan denklemin kökler toplamı T1+T2=(18+e)+(18−e)=36T_1 + T_2 = (18+e) + (18-e) = 36 ve kökler çarpımı T1⋅T2=288T_1 \cdot T_2 = 288'dir. Kökleri bilinen ikinci dereceden denklem T2−36T+288=0T^2 - 36T + 288 = 0 şeklinde yazılır. Bu denklem (T−12)(T−24)=0(T-12)(T-24) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler 1212 ve 2424 bulunur. Hata payı ise ölçülen değer olan 1818 ile köklerin arasındaki farktır: 24−18=624 - 18 = 6 veya 18−12=618 - 12 = 6.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru