P(x) ve Q(x) polinomları arasında P(x+1) + x \cdot Q(x-1) = x^2 + 5x - 3 bağıntısı bulunma… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$P(x)$ ve $Q(x)$ polinomları arasında

P(x+1) + x \cdot Q(x-1) = x^2 + 5x - 3

bağıntısı bulunmaktadır.

$Q(x)$ polinomunun $x-1$ ile bölümünden kalan $4$ olduğuna göre, $P(x)$ polinomunun $x-3$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap: 3

Aranan kalan değeri 3'tür.

Verilen bağıntıda

x=2

yazılarak

P(3) + 2 \cdot Q(1) = 11

eşitliğine ulaşılır. Soruda verilen

Q(1) = 4

değeri bu eşitlikte yerine konulduğunda

P(3) + 8 = 11

bağıntısı elde edilir ve buradan

P(3) = 3

bulunur.

Q(x)

polinomunun

x-1

ile bölümünden kalanı bulmak.

Q(1) = 4

Kalan Teoremi'ne göre bir polinomun

x-a

ile bölümünden kalan, polinomda

x

yerine

a

yazılmasıyla elde edilir.

İstenen kalan ifadesini belirlemek.

P(3)

de��erini bulmak.

P(x)

polinomunun

x-3

ile bölümünden kalan Kalan Teoremi gereği

P(3)

'tür.

Eşitlikte

x

yerine

2

yazmak.

P(3) + 2 \cdot Q(1) = 11

denklemi elde edilir.

Verilen bağıntıda

P(x+1)

Q(x-1)

terimlerini sırasıyla

P(3)

Q(1)

yapabilmek için ortak olarak

x=2

değeri seçilmelidir.

Q(1) = 4

değerini denklemde yerine koyup

P(3)

değerini hesaplamak.

P(3) = 3

P(3) + 2(4) = 11

denklemi çözüldüğünde

P(3) + 8 = 11 \implies P(3) = 3

olarak bulunur.

Polinomlarda Kalan Teoremi ve Polinom Bağıntıları

Soru