Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 10

Bir $E$ evrensel kümesinin alt kümeleri olan $A$ ve $B$ kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3$
* $s(A' \cap B') = 4$
* $s(E) = 26$
* $s(A \cap B) = s(A') - 6$

Buna göre, $B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

B kümesinin eleman sayısı 12'dir.

B kümesinin eleman sayısı olan s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) ifadesi, kurulan denklemler sonucunda b = 7 ve c = 5 bulunarak 7 + 5 = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümenin alt bölgelerini temsil eden eleman sayılarını harflendirerek değişkenler atama.

s(A \setminus B) = a

,

s(B \setminus A) = b

,

s(A \cap B) = c

ve

s(A' \cap B') = d

olsun.

Küme işlemlerini cebirsel denklemlere dönüştürerek çözümü kolaylaştırmak.

2

Evrensel kümenin eleman sayısını kullanarak

a

,

b

ve

c

değişkenlerinin toplamını bulma.

a + b + c + d = 26 \implies a + b + c + 4 = 26 \implies a + b + c = 22

Evrensel küme tüm alt bölgelerin birleşimidir ve dış bölgenin eleman sayısı 4 olarak verilmiştir.

3

s(A \setminus B)

ile

s(B \setminus A)

arasındaki ilişkiden bir denklem oluşturma.

a = b + 3

A

fark

B

kümesinin eleman sayısının

B

fark

A

kümesinin eleman sayısından 3 fazla olduğu verilmiştir.

4

A

kümesinin tümleyeninin eleman sayısını

b

cinsinden ifade etme.

s(A') = s(B \setminus A) + s(A' \cap B') = b + 4

A

kümesinin dışında kalan elemanlar, yalnızca

B

'de olanlar ile her iki kümenin de dışında olanların toplamıdır.

5

s(A \cap B)

ile

s(A')

arasındaki ilişkiden

c

'yi

b

cinsinden ifade etme.

c = (b + 4) - 6 \implies c = b - 2

A

ve

B

kesişim kümesinin eleman sayısının,

A

'nın tümleyeninin eleman sayısından 6 eksik olduğu verilmiştir.

6

Tüm değişkenleri

b

cinsinden yazarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözme.

(b + 3) + b + (b - 2) = 22 \implies 3b + 1 = 22 \implies 3b = 21 \implies b = 7

a

ve

c

değerlerini adım 2'deki toplam denkleminde yerine koyarak tek bir değişkene ulaşmak.

7

B

kümesinin toplam eleman sayısını hesaplama.

s(B) = b + c = 7 + (7 - 2) = 7 + 5 = 12

B

kümesi,

B \setminus A

ile

A \cap B

bölgelerinin birleşiminden oluşur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, kesişim ve tümleme işlemlerinin Venn şeması bölgeleri ve eleman sayıları ile ilişkisi.

Soru 182Soru →

Bir marketin gıda reyonunda bulunan 60 farklı ürünün tamamı evrensel küme $E$ olarak tanımlanmıştır. Bu ürünlerden organik olanların kümesi $A$ , yerli üretim olanların kümesi ise $B$ 'dir.

Bu ürünlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Yerli üretim olmayan ürünlerin sayısı, organik olmayan ürünlerin sayısından 6 fazladır.
- Hem organik hem de yerli üretim olan ürün sayısı 10'dur.
- Ne organik ne de yerli üretim olan ürün sayısı 18'dir.

Buna göre, bu reyondaki organik olmayan ürünlerden kaç tanesi yerli üretimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Reyondaki organik olmayan ürünlerden yerli üretim olanların sayısı 13'tür.

Reyondaki organik olmayan ürünlerin kümesi

A'

ve yerli üretim olanların kümesi

B

'dir. Bu iki kümenin kesişimi

A' \cap B

yani

B \setminus A

kümesidir. Evrensel küme

s(E) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) + s((A \cup B)')

eşitliğinden

s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 32

bulunur. Tümleyen eleman sayısı farkından

s(A \setminus B) - s(B \setminus A) = 6

elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden

s(B \setminus A) = 13

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen sözel ifadeleri küme teorisi sembolleriyle yazmak ve ilişkileri belirlemek.

s(E) = 60

,

s(A \cap B) = 10

,

s((A \cup B)') = 18

ve

s(B') = s(A') + 6

eşitlikleri elde edilir.

Sorudaki verileri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.

2

Tümleyen özelliklerini kullanarak fark kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak.

s(B') = s(A') + 6

eşitliğinden

s(A) - s(B) = 6

ve buradan

s(A \setminus B) - s(B \setminus A) = 6

elde edilir.

Tümleyen kümelerin eleman sayıları ile fark kümeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.

3

Evrensel kümenin eleman sayısı formül��nü kullanarak fark kümelerinin toplamını bulmak ve bilinmeyenleri çözmek.

s(E) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) + s((A \cup B)')

formülünden

s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 32

bulunur. İki fark kümesinin farkı 6 ve toplamı 32 olduğundan

s(B \setminus A) = 13

elde edilir.

Evrensel kümedeki tüm bölgelerin toplamını kullanarak doğrudan sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin eleman sayıları ilişkisi ve evrensel küme yardımıyla problem çözümü.

Soru 183Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan tüm yazılımcıların oluşturduğu küme evrensel küme $E$ 'dir. Bu yazılımcılardan;
- Python diliyle kod yazanların kümesi $P$ ,
- Java diliyle kod yazanların kümesi $J$
olarak tanımlanıyor.

Bu şirketteki yazılımcılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Şirkette toplam $36$ yazılımcı bulunmaktadır.
* Sadece Python diliyle kod yazanların sayısı, sadece Java diliyle kod yazanların sayısının $3$ katıdır.
* Bu iki dilin hiçbirini kullanmayan yazılımcı sayısı, her iki dili de kullanan yazılımcı sayısından $4$ fazladır.

Buna göre, Python diliyle kod yazmayanların sayısı ile Java diliyle kod yazanların sayısı arasındaki fark ( $s(P') - s(J)$ ) kaçtır?

2

4

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 değerini veren seçenektir.

Sorudaki koşullar kullanılarak kümenin ayrık bölgeleri harflendirildiğinde, Python diliyle kod yazmayanların sayısı

s(P') = a + b + 4

ve Java diliyle kod yazanların sayısı

s(J) = a + b

olarak elde edilir. Bu iki ifadenin farkı alındığında

a

ve

b

değişkenleri birbirini sadeleştirir ve geriye 4 kalır. Bu nedenle doğru cevap 4 değerini veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri küme sembolleriyle ifade edelim ve her bölgeye değişken atayalım.

Sadece Java kullanan yazılımcı sayısı

s(J \setminus P) = a

olsun. Bu durumda sadece Python kullanan yazılımcı sayısı

s(P \setminus J) = 3a

olur. Her iki dili kullanan yazılımcı sayısı

s(P \cap J) = b

olsun. İki dili de kullanmayan yazılımcı sayısı

s((P \cup J)') = b + 4

olur.

Küme problemlerini denkleme dökerek çözmek için her bağımsız bölgeyi bir değişkenle temsil etmek kolaylık sağlar.

2

Tüm bölgelerin eleman sayılarını toplayıp şirketteki toplam yazılımcı sayısına (evrensel kümenin eleman sayısına) eşitleyelim.

s(E) = s(P \setminus J) + s(J \setminus P) + s(P \cap J) + s((P \cup J)') = 36

\implies 3a + a + b + (b + 4) = 36

\implies 4a + 2b + 4 = 36

\implies 4a + 2b = 32 \implies 2a + b = 16

elde edilir.

Evrensel küme, kendini oluşturan ayrık bölgelerin toplamına eşittir.

3

Soruda bizden istenen

s(P') - s(J)

ifadesini tanımladığımız değişkenler cinsinden yazalım ve sadeleştirelim.

Python kullanmayan yazılımcı sayısı:

s(P') = s(J \setminus P) + s((P \cup J)') = a + (b + 4) = a + b + 4

olur. Java kullanan yazılımcı sayısı:

s(J) = s(J \setminus P) + s(P \cap J) = a + b

olur. Bu durumda istenen fark:

s(P') - s(J) = (a + b + 4) - (a + b) = 4

bulunur.

a

ve

b

değişkenleri birbirini sadeleştirir ve sonuç

2a+b=16

denklemine ihtiyaç kalmaksızın doğrudan bulunur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve evrensel küme eleman sayısı ilişkileri

Soru 184Soru →

Bir sanat atölyesinde eğitim alan kursiyerlerin tamamının kümesi evrensel küme $E$ 'dir. Bu atölyede resim eğitimi alanların kümesi $R$ , heykel eğitimi alanların kümesi $H$ 'dir.

Bu atölyedeki kursiyerlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Resim eğitimi alıp heykel eğitimi almayan kursiyerlerin sayısı, heykel eğitimi alıp resim eğitimi almayan kursiyerlerin sayısının 2 katıdır.
* Heykel eğitimi almayan kursiyerlerin sayısı 24'tür.
* Bu iki eğitimin en az birini alan 33 kursiyer vardır.
* Sanat atölyesinde eğitim alan toplam kursiyer sayısı 45'tir.

Buna göre, bu atölyede resim eğitimi almayan veya heykel eğitimi almayan toplam kursiyer sayısı kaçtır?

12

15

30

33

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Resim eğitimi almayan veya heykel eğitimi almayan toplam kursiyer sayısı 30'dur.

Resim eğitimi almayan veya heykel eğitimi almayan kursiyerlerin oluşturduğu küme

R' \cup H'

ifadesine karşılık gelir. De Morgan kuralları gereğince bu küme

(R \cap H)'

kümesine eşittir. Evrensel kümedeki eleman sayısından, her iki eğitimi birden alan kursiyerlerin sayısı çıkarıldığında

s(E) - s(R \cap H) = 45 - 15 = 30

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Soru metninde verilen sözel ifadeleri küme sembolleriyle yazalım.

Kursiyerlerin tamamı evrensel küme

E

olup

s(E) = 45

'tir. Resim eğitimi alanlar

R

, heykel eğitimi alanlar

H

'dir. Verilenler:

s(R \setminus H) = 2 \cdot s(H \setminus R)

,

s(H') = 24

ve

s(R \cup H) = 33

olarak belirlenir.

Problemdeki sözel bilgileri küme işlemlerine aktarmak çözümü kolaylaştırır.

2

Hiçbir eğitim almayan kursiyerlerin sayısını bulalım.

s(E) = s(R \cup H) + s((R \cup H)') \implies 45 = 33 + s((R \cup H)') \implies s((R \cup H)') = 12

bulunur.

Bir küme ile tümleyeninin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.

3

Sadece resim alanların (

R \setminus H

) ve sadece heykel alanların (

H \setminus R

) eleman sayılarını bulalım.

s(H') = s(R \setminus H) + s((R \cup H)') \implies 24 = s(R \setminus H) + 12 \implies s(R \setminus H) = 12

olur.

s(R \setminus H) = 2 \cdot s(H \setminus R) \implies 12 = 2 \cdot s(H \setminus R) \implies s(H \setminus R) = 6

bulunur.

Heykel eğitimi almayanlar (

H'

), resim alıp heykel almayanlar ile her iki eğitimi de almayanlardan oluşur.

4

Her iki eğitimi birden alan kursiyerlerin sayısını bulalım.

s(R \cup H) = s(R \setminus H) + s(H \setminus R) + s(R \cap H) \implies 33 = 12 + 6 + s(R \cap H) \implies s(R \cap H) = 15

elde edilir.

Birleşim kümesi; sadece resim alanlar, sadece heykel alanlar ve her ikisini birden alanlar olmak üzere ayrık üç bölgenin toplamıdır.

5

Resim almayan veya heykel almayanların (

R' \cup H'

) sayısını hesaplayalım.

De Morgan kuralları gereği

R' \cup H' = (R \cap H)'

olur. Buradan

s(R' \cup H') = s(E) - s(R \cap H) = 45 - 15 = 30

bulunur.

Resim veya heykel eğitimi almayanlar kümesi, her iki eğitimi birden alanların dışındaki tüm kursiyerleri temsil eder.

Anahtar Kavram

De Morgan Kuralları ve Tümleyen Özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Kümeler ve Mantık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar