Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir yazılım şirketinde çalışan tüm yazılımcıların oluşturduğu küme evrensel küme EE'dir. Bu yazılımcılardan;
- Python diliyle kod yazanların kümesi PP,
- Java diliyle kod yazanların kümesi JJ
olarak tanımlanıyor.

Bu şirketteki yazılımcılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Şirkette toplam 3636 yazılımcı bulunmaktadır.
* Sadece Python diliyle kod yazanların sayısı, sadece Java diliyle kod yazanların sayısının 33 katıdır.
* Bu iki dilin hiçbirini kullanmayan yazılımcı sayısı, her iki dili de kullanan yazılımcı sayısından 44 fazladır.

Buna göre, Python diliyle kod yazmayanların sayısı ile Java diliyle kod yazanların sayısı arasındaki fark (s(P′)−s(J)s(P') - s(J)) kaçtır?

  1. A
    2
  2. 4Cevap
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

Doğru cevap 4 değerini veren seçenektir.
Sorudaki koşullar kullanılarak kümenin ayrık bölgeleri harflendirildiğinde, Python diliyle kod yazmayanların sayısı s(P′)=a+b+4s(P') = a + b + 4 ve Java diliyle kod yazanların sayısı s(J)=a+bs(J) = a + b olarak elde edilir. Bu iki ifadenin farkı alındığında aa ve bb değişkenleri birbirini sadeleştirir ve geriye 4 kalır. Bu nedenle doğru cevap 4 değerini veren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri küme sembolleriyle ifade edelim ve her bölgeye değişken atayalım.
Sadece Java kullanan yazılımcı sayısı s(J∖P)=as(J \setminus P) = a olsun. Bu durumda sadece Python kullanan yazılımcı sayısı s(P∖J)=3as(P \setminus J) = 3a olur. Her iki dili kullanan yazılımcı sayısı s(P∩J)=bs(P \cap J) = b olsun. İki dili de kullanmayan yazılımcı sayısı s((P∪J)′)=b+4s((P \cup J)') = b + 4 olur.
Küme problemlerini denkleme dökerek çözmek için her bağımsız bölgeyi bir değişkenle temsil etmek kolaylık sağlar.
2
Tüm bölgelerin eleman sayılarını toplayıp şirketteki toplam yazılımcı sayısına (evrensel kümenin eleman sayısına) eşitleyelim.
s(E)=s(P∖J)+s(J∖P)+s(P∩J)+s((P∪J)′)=36s(E) = s(P \setminus J) + s(J \setminus P) + s(P \cap J) + s((P \cup J)') = 36   ⟹  3a+a+b+(b+4)=36\implies 3a + a + b + (b + 4) = 36   ⟹  4a+2b+4=36\implies 4a + 2b + 4 = 36   ⟹  4a+2b=32  ⟹  2a+b=16\implies 4a + 2b = 32 \implies 2a + b = 16 elde edilir.
Evrensel küme, kendini oluşturan ayrık bölgelerin toplamına eşittir.
3
Soruda bizden istenen s(P′)−s(J)s(P') - s(J) ifadesini tanımladığımız değişkenler cinsinden yazalım ve sadeleştirelim.
Python kullanmayan yazılımcı sayısı: s(P′)=s(J∖P)+s((P∪J)′)=a+(b+4)=a+b+4s(P') = s(J \setminus P) + s((P \cup J)') = a + (b + 4) = a + b + 4 olur. Java kullanan yazılımcı sayısı: s(J)=s(J∖P)+s(P∩J)=a+bs(J) = s(J \setminus P) + s(P \cap J) = a + b olur. Bu durumda istenen fark: s(P′)−s(J)=(a+b+4)−(a+b)=4s(P') - s(J) = (a + b + 4) - (a + b) = 4 bulunur.
aa ve bb değişkenleri birbirini sadeleştirir ve sonuç 2a+b=162a+b=16 denklemine ihtiyaç kalmaksızın doğrudan bulunur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve evrensel küme eleman sayısı ilişkileri
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru