Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir EE evrensel kümesinin alt kümeleri olan AA ve BB kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* s(A∖B)=s(B∖A)+3s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3
* s(A′∩B′)=4s(A' \cap B') = 4
* s(E)=26s(E) = 26
* s(A∩B)=s(A′)−6s(A \cap B) = s(A') - 6

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

B kümesinin eleman sayısı 12'dir.
B kümesinin eleman sayısı olan s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) ifadesi, kurulan denklemler sonucunda b = 7 ve c = 5 bulunarak 7 + 5 = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin alt bölgelerini temsil eden eleman sayılarını harflendirerek değişkenler atama.
s(A∖B)=as(A \setminus B) = a, s(B∖A)=bs(B \setminus A) = b, s(A∩B)=cs(A \cap B) = c ve s(A′∩B′)=ds(A' \cap B') = d olsun.
Küme işlemlerini cebirsel denklemlere dönüştürerek çözümü kolaylaştırmak.
2
Evrensel kümenin eleman sayısını kullanarak aa, bb ve cc değişkenlerinin toplamını bulma.
a+b+c+d=26  ⟹  a+b+c+4=26  ⟹  a+b+c=22a + b + c + d = 26 \implies a + b + c + 4 = 26 \implies a + b + c = 22
Evrensel küme tüm alt bölgelerin birleşimidir ve dış bölgenin eleman sayısı 4 olarak verilmiştir.
3
s(A∖B)s(A \setminus B) ile s(B∖A)s(B \setminus A) arasındaki ilişkiden bir denklem oluşturma.
a=b+3a = b + 3
AA fark BB kümesinin eleman sayısının BB fark AA kümesinin eleman sayısından 3 fazla olduğu verilmiştir.
4
AA kümesinin tümleyeninin eleman sayısını bb cinsinden ifade etme.
s(A′)=s(B∖A)+s(A′∩B′)=b+4s(A') = s(B \setminus A) + s(A' \cap B') = b + 4
AA kümesinin dışında kalan elemanlar, yalnızca BB'de olanlar ile her iki kümenin de dışında olanların toplamıdır.
5
s(A∩B)s(A \cap B) ile s(A′)s(A') arasındaki ilişkiden cc'yi bb cinsinden ifade etme.
c=(b+4)−6  ⟹  c=b−2c = (b + 4) - 6 \implies c = b - 2
AA ve BB kesişim kümesinin eleman sayısının, AA'nın tümleyeninin eleman sayısından 6 eksik olduğu verilmiştir.
6
Tüm değişkenleri bb cinsinden yazarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözme.
(b+3)+b+(b−2)=22  ⟹  3b+1=22  ⟹  3b=21  ⟹  b=7(b + 3) + b + (b - 2) = 22 \implies 3b + 1 = 22 \implies 3b = 21 \implies b = 7
aa ve cc değerlerini adım 2'deki toplam denkleminde yerine koyarak tek bir değişkene ulaşmak.
7
BB kümesinin toplam eleman sayısını hesaplama.
s(B)=b+c=7+(7−2)=7+5=12s(B) = b + c = 7 + (7 - 2) = 7 + 5 = 12
BB kümesi, B∖AB \setminus A ile A∩BA \cap B bölgelerinin birleşiminden oluşur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, kesişim ve tümleme işlemlerinin Venn şeması bölgeleri ve eleman sayıları ile ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru