Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir marketin gıda reyonunda bulunan 60 farklı ürünün tamamı evrensel küme EE olarak tanımlanmıştır. Bu ürünlerden organik olanların kümesi AA, yerli üretim olanların kümesi ise BB'dir.

Bu ürünlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Yerli üretim olmayan ürünlerin sayısı, organik olmayan ürünlerin sayısından 6 fazladır.
- Hem organik hem de yerli üretim olan ürün sayısı 10'dur.
- Ne organik ne de yerli üretim olan ürün sayısı 18'dir.

Buna göre, bu reyondaki organik olmayan ürünlerden kaç tanesi yerli üretimdir?

Cevap: 13 adet

Cevap

Reyondaki organik olmayan ürünlerden yerli üretim olanların sayısı 13'tür.
Reyondaki organik olmayan ürünlerin kümesi A′A' ve yerli üretim olanların kümesi BB'dir. Bu iki kümenin kesişimi A′∩BA' \cap B yani B∖AB \setminus A kümesidir. Evrensel küme s(E)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)+s((A∪B)′)s(E) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) + s((A \cup B)') eşitliğinden s(A∖B)+s(B∖A)=32s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 32 bulunur. Tümleyen eleman sayısı farkından s(A∖B)−s(B∖A)=6s(A \setminus B) - s(B \setminus A) = 6 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden s(B∖A)=13s(B \setminus A) = 13 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeleri küme teorisi sembolleriyle yazmak ve ilişkileri belirlemek.
s(E)=60s(E) = 60, s(A∩B)=10s(A \cap B) = 10, s((A∪B)′)=18s((A \cup B)') = 18 ve s(B′)=s(A′)+6s(B') = s(A') + 6 eşitlikleri elde edilir.
Sorudaki verileri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Tümleyen özelliklerini kullanarak fark kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak.
s(B′)=s(A′)+6s(B') = s(A') + 6 eşitliğinden s(A)−s(B)=6s(A) - s(B) = 6 ve buradan s(A∖B)−s(B∖A)=6s(A \setminus B) - s(B \setminus A) = 6 elde edilir.
Tümleyen kümelerin eleman sayıları ile fark kümeleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
3
Evrensel kümenin eleman sayısı formül��nü kullanarak fark kümelerinin toplamını bulmak ve bilinmeyenleri çözmek.
s(E)=s(A∖B)+s(B∖A)+s(A∩B)+s((A∪B)′)s(E) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B) + s((A \cup B)') formülünden s(A∖B)+s(B∖A)=32s(A \setminus B) + s(B \setminus A) = 32 bulunur. İki fark kümesinin farkı 6 ve toplamı 32 olduğundan s(B∖A)=13s(B \setminus A) = 13 elde edilir.
Evrensel kümedeki tüm bölgelerin toplamını kullanarak doğrudan sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin eleman sayıları ilişkisi ve evrensel küme yardımıyla problem çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru