Examkin

Kümeler ve Mantık

184 soru

Tüm türler184Çoktan seçmeli123Doğru / Yanlış10Sayısal50Eşleştirme1
Soru 161Soru →
aa, bb ve cc tam sayıları için,
p:a⋅b c¸arpımı tek sayıdır.q:a+c toplamı c¸ift sayıdır.r:b+c toplamı tek sayıdır.\begin{aligned} p&: a \cdot b \text{ çarpımı tek sayıdır.}\\ q&: a + c \text{ toplamı çift sayıdır.}\\ r&: b + c \text{ toplamı tek sayıdır.} \end{aligned}
önermeleri veriliyor.

(p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r önermesi yanlış olduğuna göre;

I. a⋅c+ba \cdot c + b

II. a+b+ca + b + c

III. ab+ca^b + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Mantıksal çözümlemeye göre p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 olmalıdır. Bu durum aa, bb ve cc tam sayılarının tamamının tek sayı olmasını gerektirir. Yalnız I öncülünde yer alan a⋅c+ba \cdot c + b ifadesi, iki tek sayının çarpımının bir tek sayı ile toplanması prensibine göre (Tek ⋅\cdot Tek + Tek = Çift) her zaman çift bir tam sayı belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
(p∧q)⇒r≡0(p \wedge q) \Rightarrow r \equiv 0 koşulunu sağlayan doğruluk değerlerini belirlemek.
p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 bulunur.
İse (⇒\Rightarrow) bağlacının sonucunun yanlış olması için tek durum birinci kısmın doğru (1), ikinci kısmın yanlış (0) olmasıdır.
2
pp ve qq önermelerinin doğruluk değerlerini ayrı ayrı çözmek.
p≡1p \equiv 1 ve q≡1q \equiv 1 olarak elde edilir.
Ve (∧\wedge) bağlacının sonucunun 1 olması için bağlı olan tüm önermelerin 1 olması gerekir.
3
Önermelerin sözel ifadelerini kullanarak aa, bb ve cc tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
aa, bb ve cc sayılarının her birinin tek sayı olduğu sonucuna varılır.
p≡1p \equiv 1 olduğundan a⋅ba \cdot b tektir, bu da hem aa hem bb'nin tek olduğunu gösterir. q≡1q \equiv 1 olduğundan a+ca + c çifttir, aa tek olduğundan cc de tek olmalıdır. r≡0r \equiv 0 olduğundan b+cb + c tek değildir (yani çifttir), iki tek sayının toplamı çift olduğundan bu durum tutarlıdır.
4
Elde edilen teklik-çiftlik değerlerine göre verilen I, II ve III öncüllerini değerlendirmek.
I. öncül her zaman çift sayı, II. öncül tek sayı çıkar. III. öncül ise negatif üs durumundan dolayı tam sayı dahi çıkmayabilir.
I'de Tek ⋅\cdot Tek + Tek = Tek + Tek = Çift olur. II'de Tek + Tek + Tek = Tek olur. III'te bb negatif bir tam sayı (örneğin −1-1) olabileceğinden ab+ca^b + c rasyonel bir sayı olur ve çift sayılık aranamaz.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerleri ile tam sayılarda teklik-çiftlik kurallarının birlikte uygulanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 162Soru →

Bir halk eğitim merkezindeki kursiyerlerden fotoğrafçılık (FF), seramik (SS) ve satranç (TT) kurslarına katılanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kursiyerlerden her üç kursa da katılan kimse bulunmamaktadır.
* Bu üç kurstan herhangi ikisine birden katılan kursiyer sayıları birbirine eşittir.
* Sadece bir kursa katılan toplam kursiyer sayısı 24'tür.
* Fotoğrafçılık veya seramik kursuna katılan kursiyer sayısı 27'dir.
* Seramik veya satranç kursuna katılan kursiyer sayısı 29'dur.
* Fotoğrafçılık veya satranç kursuna katılan kursiyer sayısı 28'dir.

Buna göre, bu kursiyerlerden en az iki kursa katılan toplam kursiyer sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En az iki kursa katılan toplam kursiyer sayısı 12'dir.
Verilen birleşim kümelerinin eleman sayıları Venn şeması üzerinde harflendirildiğinde, denklemlerin taraf tarafa toplanmasıyla 2(a+b+c)+9k=842(a+b+c) + 9k = 84 elde edilir. Sadece bir kursa katılanların toplamı (a+b+c=24a+b+c = 24) yerine konduğunda k=4k = 4 bulunur. En az iki kursa katılanlar ise ikişerli kesişimlerin toplamı olan 3k3k değerine karşılık geldiği için doğru yanıt 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgelerini harflendirerek modelleme yapılması.
Sadece bir kursa katılanlar için a+b+c=24a + b + c = 24 ve ikişerli kesişimler için kk değeri tanımlandı.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Birleşim kümelerinin eleman sayılarını veren denklemlerin yazılması.
a+b+3k=27a + b + 3k = 27, b+c+3k=29b + c + 3k = 29 ve a+c+3k=28a + c + 3k = 28 denklemleri elde edildi.
Her bir birleşim kümesinin Venn şemasındaki hangi bölgeleri kapsadığını belirlemek için.
3
Yazılan denklemlerin taraf tarafa toplanması.
2(a+b+c)+9k=842(a + b + c) + 9k = 84 genel denklemi elde edildi.
Değişkenleri sadeleştirmek ve bilinen toplam değerini (a+b+ca+b+c) kullanabilmek için.
4
a+b+c=24a + b + c = 24 değerinin denklemde yerine yazılarak kk değerinin çözülmesi.
48+9k=84  ⟹  9k=36  ⟹  k=448 + 9k = 84 \implies 9k = 36 \implies k = 4 olarak bulundu.
Bilinmeyen kesişim bölgesi eleman sayısına ulaşmak için.
5
En az iki kursa katılanların sayısının hesaplanması.
3k=123k = 12 olarak hesaplandı.
En az iki kursa katılanlar ikişerli ve üçerli kesişimlerin toplamını ifade ettiği için.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin Venn şeması üzerinde bölgelere ayrılarak modellenmesi ve eleman sayısı formüllerinin uygulanması.

Alternatif Yöntem

Kümelerin eleman sayıları formülü kullanılarak da çözülebilir: s(F∪S)=s(F)+s(S)−s(F∩S)s(F \cup S) = s(F) + s(S) - s(F \cap S) formülüyle her kümenin eleman sayısı denklemi yazılıp taraf tarafa toplanarak sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 163Soru →

Bir okul kütüphanesindeki kitaplardan macera (MM), bilimkurgu (BB) ve tarih (TT) türünde olanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kütüphanede bu üç kitap türünden en az birine ait olan toplam 8080 kitap bulunmaktadır.
* Hem macera hem de bilimkurgu türünde olan kitapların sayısı 1212'dir.
* Bilimkurgu ve tarih türündeki kitapların kesişim kümesinin eleman sayısı, macera ve tarih türündeki kitapların kesişim kümesinin eleman sayısının 22 katıdır.
* Bu kitaplardan yalnızca bir türe ait olanların toplam sayısı 4545'tir.
* Her üç türe de ait olan kitap sayısı 55'tir.

Buna göre, kütüphanede hem tarih hem de bilimkurgu türünde olan toplam kitap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2222

Cevap

Tarih ve bilimkurgu türündeki kitapların kesişim kümesinin eleman sayısı 2222'dir.
Kütüphanedeki tüm kitapların birleşimi olan M∪B∪TM \cup B \cup T kümesinin eleman sayısı 8080'dir. Yalnızca tek bir türe ait kitapların sayısı (4545) ve her üç türe ait kitap sayısı (55) çıkarıldığında, geriye yalnızca iki türe ait olan kesişim bölgelerinin eleman sayıları toplamı 80−45−5=3080 - 45 - 5 = 30 kalır. Hem macera hem bilimkurgu türündeki 1212 kitaptan üçlü kesişim (55) çıkarıldığında yalnızca macera ve bilimkurgu olan kitap sayısı 77 bulunur. Buradan yalnızca macera-tarih (yy) ve yalnızca bilimkurgu-tarih (zz) kitaplarının toplamı 30−7=2330 - 7 = 23 elde edilir. Kesişim kümeleri arasındaki 22 kat ilişkisinden z+5=2(y+5)  ⟹  z=2y+5z + 5 = 2(y + 5) \implies z = 2y + 5 bağıntısı bulunur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde y=6y = 6 ve z=17z = 17 değerleri elde edilir. Sonuç olarak tarih ve bilimkurgu kesişimi s(B∩T)=z+5=17+5=22s(B \cap T) = z + 5 = 17 + 5 = 22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kütüphanedeki kitap türlerini temsil eden üç kümeli bir Venn şeması tanımlayalım. Yalnızca bir türe ait olan bölgelerin eleman sayıları toplamı m+b+t=45m + b + t = 45 olsun. Kesişim bölgelerinin yalnızca iki kümeye ait olan kısımları s(M∩B∖T)=xs(M \cap B \setminus T) = x, s(M∩T∖B)=ys(M \cap T \setminus B) = y, s(B∩T∖M)=zs(B \cap T \setminus M) = z ve her üç kümeye ortak olan bölge s(M∩B∩T)=w=5s(M \cap B \cap T) = w = 5 olsun.
Tüm kitapların birleşimi m+b+t+x+y+z+w=80m + b + t + x + y + z + w = 80 denklemini verir.
Soruda verilen toplam kitap sayısı bilgisini matematiksel olarak ifade etmek.
2
Hem macera hem bilimkurgu olan kitap sayısı s(M∩B)=x+w=12s(M \cap B) = x + w = 12 olarak verilmiştir. w=5w = 5 olduğuna göre x+5=12  ⟹  x=7x + 5 = 12 \implies x = 7 elde edilir. Bu değerleri birinci adımda kurulan toplam denklemine yazalım: 45+7+y+z+5=8045 + 7 + y + z + 5 = 80.
y+z=23y + z = 23 denklemi bulunur.
Bilinmeyen kesişim bölgelerinin toplam eleman sayısını belirlemek.
3
Bilimkurgu ve tarih kesişimi olan s(B∩T)=z+5s(B \cap T) = z + 5 ifadesinin, macera ve tarih kesişimi olan s(M∩T)=y+5s(M \cap T) = y + 5 ifadesinin 22 katı olduğu bilgisini kullanalım: z+5=2(y+5)  ⟹  z=2y+5z + 5 = 2(y + 5) \implies z = 2y + 5. Bu eşitliği y+z=23y + z = 23 denkleminde yerine yazalım.
y+(2y+5)=23  ⟹  3y=18  ⟹  y=6y + (2y + 5) = 23 \implies 3y = 18 \implies y = 6 ve z=2(6)+5=17z = 2(6) + 5 = 17 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek bireysel kesişim bölgelerinin eleman sayılarına ulaşmak.
4
Hem tarih hem bilimkurgu türündeki toplam kitap sayısını (s(B∩T)s(B \cap T)) hesaplayalım: s(B∩T)=z+ws(B \cap T) = z + w.
s(B∩T)=17+5=22s(B \cap T) = 17 + 5 = 22 bulunur.
Soruda bizden istenen kesişim kümesinin toplam eleman sayısını elde etmek.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin Venn şeması yardımıyla modellenmesi ve alt bölgelerin eleman sayılarının hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 164Soru →
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçek sayıları için,
p:a3⋅b<0q:b⋅c<0r:a⋅c2>0\begin{aligned} p&: a^3 \cdot b < 0 \\ q&: b \cdot c < 0 \\ r&: a \cdot c^2 > 0 \end{aligned}
önermeleri tanımlanıyor.
(p∧q)⇒(q⇒r)(p \wedge q) \Rightarrow (q \Rightarrow r)
bileşik önermesinin doğruluk değeri 00 olduğuna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -, +, -

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif ve negatif (-, +, -)
Bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 olması, ise bağlacının özelliğinden dolayı önermenin sol tarafının 1, sağ tarafının ise 0 olmasını gerektirir. Buradan p ve q önermelerinin doğruluk değerlerinin 1, q'dan r'ye giden koşullu önermenin ise 0 olduğu görülür. q önermesi 1 olduğuna göre, q'dan r'ye giden önermenin 0 olması için r önermesinin doğruluk değerinin 0 olması şarttır. r önermesinin yanlış olması a sayısının negatif olmasını gerektirir. p önermesinin doğru olması, a'nın tek kuvveti negatif olduğu için b sayısının pozitif olmasını sağlar. q önermesinin doğru olması ise pozitif b sayısı ile çarpılan c sayısının negatif olmasını gerektirir. Bu nedenle işaretler sırasıyla negatif, pozitif ve negatif olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etme.
p≡1p \equiv 1, q≡1q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 olarak bulunur.
X⇒Y≡0X \Rightarrow Y \equiv 0 ise X≡1X \equiv 1 ve Y≡0Y \equiv 0 olmalıdır. Buradan p∧q≡1  ⟹  p≡1,q≡1p \wedge q \equiv 1 \implies p \equiv 1, q \equiv 1 ve q⇒r≡0  ⟹  q≡1,r≡0q \Rightarrow r \equiv 0 \implies q \equiv 1, r \equiv 0 elde edilir.
2
rr önermesinin yanlış olmasından yola çıkarak aa sayısının işaretini belirleme.
a<0a < 0 (negatif) olur.
r:a⋅c2>0r: a \cdot c^2 > 0 önermesinin doğruluk değeri 0'dır. c≠0c \neq 0 olduğundan c2>0c^2 > 0 olur. Çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olması için a<0a < 0 olmalıdır.
3
pp önermesinin doğru olmasından yola çıkarak bb sayısının işaretini belirleme.
b>0b > 0 (pozitif) olur.
p:a3⋅b<0p: a^3 \cdot b < 0 önermesinin doğruluk değeri 1'dir. a<0a < 0 olduğundan a3<0a^3 < 0 olur. Çarpımın negatif olması için b>0b > 0 olmalıdır.
4
qq önermesinin doğru olmasından yola çıkarak cc sayısının işaretini belirleme.
c<0c < 0 (negatif) olur.
q:b⋅c<0q: b \cdot c < 0 önermesinin doğruluk değeri 1'dir. b>0b > 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için c<0c < 0 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Önermeler ve Bileşik Önermelerin Doğruluk Değerleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 165Soru →

AA ve BB kümeleri aynı EE evrensel kümesinin alt kümeleridir.

* s(E)=34s(E) = 34
* s(A′∖B′)=2⋅s(B′∖A′)s(A' \setminus B') = 2 \cdot s(B' \setminus A')
* s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6
* s(A′∩B′)=4s(A' \cap B') = 4

Buna göre, AA kümesinin tümleyeninin eleman sayısı olan s(A′)s(A') kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

A kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 20'dir.
Kümeler arasındaki fark ve tümleme dönüşümleri yapıldığında, evrensel kümenin eleman sayısı denklemi kurulup çözülerek A kümesinin tümleyeninin eleman sayısı 20 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki fark ve tümleme özelliklerini kullanarak alt kümeleri basitleştirme
A′∖B′=B∖AA' \setminus B' = B \setminus A ve B′∖A′=A∖BB' \setminus A' = A \setminus B eşitlikleri elde edilir.
Tümleyen fark işlemlerini temel küme farkı işlemlerine dönüştürerek değişken ataması yapabilmek için.
2
Değişken tanımlayarak eleman sayılarını ifade etme
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x ve s(B∖A)=2xs(B \setminus A) = 2x olarak belirlenir.
Verilen s(A′∖B′)=2⋅s(B′∖A′)s(A' \setminus B') = 2 \cdot s(B' \setminus A') oranını denklemde kullanabilmek için.
3
Evrensel kümenin eleman sayısı denklemini kurma
34=x+2x+6+434 = x + 2x + 6 + 4 denklemi elde edilir.
Evrensel kümenin, birbirini dışlayan dört alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşit olması kuralını uygulamak için.
4
Denklemi çözerek x değerini bulma
3x=24  ⟹  x=83x = 24 \implies x = 8 bulunur.
Bölgelerin eleman sayılarını netleştirmek için.
5
s(A′)s(A') değerini hesaplama
s(A′)=s(B∖A)+s(A′∩B′)=16+4=20s(A') = s(B \setminus A) + s(A' \cap B') = 16 + 4 = 20 bulunur.
A kümesinin dışında kalan bölgelerin eleman sayıları toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark işleminin tümleme işlemiyle olan ilişkisi ve evrensel kümenin eleman sayısı dağılımı.
Soru 166Soru →
aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
p:a>0q:b<0r:a+b<0\begin{aligned} p&: a > 0 \\ q&: b < 0 \\ r&: a + b < 0 \end{aligned}
önermeleri veriliyor.
(p∧q)⇒r(p \wedge q) \Rightarrow r

önermesi yanlış olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∣a∣≥∣b∣|a| \geq |b|

Cevap

Mutlak değer a büyük veya eşittir mutlak değer b
Koşullu önermenin yanlış çıkması için ön koşulun doğru, sonucun yanlış olması gerekir. Buradan pp ve qq doğru olmalıdır; yani a>0a > 0 ve b<0b < 0 durumları geçerlidir. Sonuç önermesi rr yanlış olduğuna göre, a+b<0a + b < 0 eşitsizliğinin olumsuzu olan a+b≥0a + b \geq 0 ifadesi doğru kabul edilmelidir. Pozitif olan aa sayısı mutlak değerine, negatif olan bb sayısı ise mutlak değerinin ters işaretlisine eşittir. Bu iki ifade toplam eşitsizliğine yazıldığında mutlak değer a büyük veya eşittir mutlak değer b eşitsizliği daima sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin doğruluk değerini çözümleme
p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0
İse bağlacının yanlış çıkması (X⇒Y≡0X \Rightarrow Y \equiv 0) yalnızca hipotezin doğru (X≡1X \equiv 1) ve hükmün yanlış (Y≡0Y \equiv 0) olması durumunda gerçekleşir.
2
Bileşen önermelerin doğruluk değerlerini belirleme
p≡1p \equiv 1 ve q≡1q \equiv 1
p∧q≡1p \wedge q \equiv 1 olduğundan, ve bağlacının özelliğinden dolayı her iki bileşen önerme de doğru olmalıdır. Buradan a>0a > 0 ve b<0b < 0 elde edilir.
3
Hüküm önermesinin olumsuzunu alma
a+b≥0a + b \geq 0
r≡0r \equiv 0 olduğundan, a+b<0a + b < 0 önermesi yanlıştır. Bir eşitsizliğin değili alındığında yön değiştirir ve sınır noktası dahil edilir.
4
Elde edilen işaret bilgilerini mutlak değerle ilişkilendirme
∣a∣≥∣b∣|a| \geq |b|
a>0a > 0 olduğu için a=∣a∣a = |a| ve b<0b < 0 olduğu için b=−∣b∣b = -|b| yazılabilir. Bu değerler a+b≥0a + b \geq 0 eşitsizliğinde yerine konduğunda ∣a∣−∣b∣≥0  ⟹  ∣a∣≥∣b∣|a| - |b| \geq 0 \implies |a| \geq |b| sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Önermeler ve Bağlaçlar
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 167Soru →

Bir akıllı telefonun şarj durumu ve ekran özellikleri ile ilgili pp, qq ve rr önermeleri şu şekilde tanımlanmıştır:

* pp: "Telefonun şarjı %20\%20'nin altındadır."
* qq: "Telefon güç tasarrufu modundadır."
* rr: "Telefonun ekran parlaklığı otomatik olarak düşürülmüştür."

Bu telefonun yazılımı, p⇒qp \Rightarrow q ve q⇔rq \Leftrightarrow r bileşik önermelerinin her ikisi de doğru olacak şekilde çalışmaktadır.

Bu telefonun ekran parlaklığının otomatik olarak d��şürülmediği bilindiğine göre, telefonun şarj durumu ve güç tasarrufu modu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Telefonun şarjı %20 veya üzerindedir ve telefon güç tasarrufu modunda değildir.

Cevap

Telefonun şarjı %20 veya üzerindedir ve telefon güç tasarrufu modunda değildir.
Ekran parlaklığı düşürülmediği için r≡0r \equiv 0'dır. Telefonun yazılımı gereği doğru olan q⇔r≡1q \Leftrightarrow r \equiv 1 önermesinde rr yerine 0 yazıldığında q≡0q \equiv 0 bulunur. Bu durum telefonun güç tasarrufu modunda olmadığını gösterir. Diğer doğru yazılım kuralı olan p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 önermesinde q≡0q \equiv 0 yazıldığında p⇒0≡1p \Rightarrow 0 \equiv 1 elde edilir. Bu koşullu önermenin doğru çıkması için p≡0p \equiv 0 olmalıdır. p≡0p \equiv 0 olması ise şarjın %20'nin altında olmadığını, yani %20 veya üzerinde olduğunu gösterir. Dolayısıyla doğru yanıt, şarjın %20 veya üzerinde olduğunu ve telefonun güç tasarrufu modunda olmadığını bildiren ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgiden yararlanarak ekran parlaklığı önermesi olan rr'nin doğruluk değerini belirlemek.
r≡0r \equiv 0
Ekran parlaklığının otomatik olarak düşürülmedi��i soruda belirtilmiştir.
2
q⇔r≡1q \Leftrightarrow r \equiv 1 bileşik önermesinde r≡0r \equiv 0 değerini yerine yazarak qq önermesinin doğruluk değerini bulmak.
q≡0q \equiv 0
İki yönlü koşullu önermenin (ancak ve ancak) sonucunun doğru (1) olması için her iki önermenin doğruluk değerinin aynı olması gerekir.
3
p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 koşullu önermesinde q≡0q \equiv 0 değerini yerine yazarak pp önermesinin doğruluk değerini bulmak.
p≡0p \equiv 0
p⇒0≡1p \Rightarrow 0 \equiv 1 durumunda, koşullu önerme tanımı gereği hipotezin (p) mutlaka 0 olması gerekir. Aksi takdirde 1⇒0≡01 \Rightarrow 0 \equiv 0 olurdu.
4
Bulunan p≡0p \equiv 0 ve q≡0q \equiv 0 doğruluk değerlerini sözel ifadelere çevirip birleştirmek.
Telefonun şarjı %20 veya üzerindedir ve telefon güç tasarrufu modunda değildir.
p≡0p \equiv 0 ifadesi şarjın %20'nin altında olmadığını (yani %20 veya üzerinde olduğunu), q≡0q \equiv 0 ise telefonun güç tasarrufu modunda olmadığını gösterir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin (p⇒qp \Rightarrow q) doğruluk değeri tablosu ve iki yönlü koşullu önermenin (p⇔qp \Leftrightarrow q) özellikleri.

Alternatif Yöntem

p⇒qp \Rightarrow q önermesi karşıt tersi olan q′⇒p′q' \Rightarrow p' önermesine mantıksal olarak denktir. q⇔r≡1q \Leftrightarrow r \equiv 1 ve r≡0r \equiv 0 olduğundan q≡0q \equiv 0, dolayısıyla q′≡1q' \equiv 1 olur. Karşıt ters denkliğinde q′q' yerine 1 yazıldığında 1⇒p′≡11 \Rightarrow p' \equiv 1 elde edilir. Bu koşullu önermenin doğru olması için p′≡1p' \equiv 1 (yani p≡0p \equiv 0) olmalıdır. Bu yol doğrudan karşıt ters kuralını kullanarak sonuca ulaşmayı sağlar.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 168Soru →

Her pp ve qq önermesi için, p⇒qp \Rightarrow q koşullu önermesinin karşıtı ile tersinin veya bağlacı cinsinden eşdeğerleri her zaman birbirine denktir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen önermenin karşıtı olan q⇒pq \Rightarrow p önermesinin veya bağlacı cinsinden eşdeğeri q′∨pq' \vee p iken; tersi olan p′⇒q′p' \Rightarrow q' önermesinin veya bağlacı cinsinden eşdeğeri p∨q′p \vee q' şeklindedir. Veya bağlacının değişme özelliği nedeniyle bu iki ifade birbirine her zaman denktir.

Adım Adım Çözüm

1
p⇒qp \Rightarrow q koşullu önermesinin karşıtını ve veya bağlacı cinsinden eşdeğerini bulunuz.
p⇒qp \Rightarrow q önermesinin karşıtı q⇒pq \Rightarrow p önermesidir. a⇒b≡a′∨ba \Rightarrow b \equiv a' \vee b kuralı uygulandığında bu önermenin eşdeğeri q′∨pq' \vee p olarak elde edilir.
Karşıt önermenin tanımını ve veya bağlacı cinsinden eşdeğerini belirlemek için.
2
p⇒qp \Rightarrow q koşullu önermesinin tersini ve veya bağlacı cinsinden eşdeğerini bulunuz.
p⇒qp \Rightarrow q önermesinin tersi p′⇒q′p' \Rightarrow q' önermesidir. Eşdeğerlik kuralı uygulandığında bu önermenin eşdeğeri (p′)′∨q′≡p∨q′(p')' \vee q' \equiv p \vee q' olarak bulunur.
Ters önermenin tanımını ve veya bağlacı cinsinden eşdeğerini belirlemek için.
3
Elde edilen iki veya bağlaçlı önermeyi karşılaştırarak doğruluk değerlerini ve eşdeğerlik durumlarını inceleyiniz.
q′∨pq' \vee p ile p∨q′p \vee q' önermeleri, veya bağlacının değişme özelliği (a∨b≡b∨aa \vee b \equiv b \vee a) gereği birbirine denktir (q′∨p≡p∨q′q' \vee p \equiv p \vee q').
Karşıt ve ters önermelerin veya bağlacı cinsinden ifadelerinin her zaman denk olup olmadığını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin karşıtı, tersi ve veya bağlacı cinsinden eşdeğeri
Soru 169Soru →

AA ve BB kümeleri, EE evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* s(A∖B)=2⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)
* s(A′∩B′)=s(A∩B)+2s(A' \cap B') = s(A \cap B) + 2
* s(A′)=9s(A') = 9
* s(E)=19s(E) = 19

Buna göre, s(A′∖B′)s(A' \setminus B') değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
İstenen A′∖B′A' \setminus B' kümesi, küme işlemlerinin özelliklerine göre A′∩(B′)′=A′∩B=B∖AA' \cap (B')' = A' \cap B = B \setminus A kümesine eşittir. Denklem sistemi çözüldüğünde s(B∖A)=3s(B \setminus A) = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki ayrık bölgeleri harflendirerek veya değişkenler atayarak ifade edelim.
s(A∖B)=as(A \setminus B) = a, s(B∖A)=bs(B \setminus A) = b, s(A∩B)=cs(A \cap B) = c ve s((A∪B)′)=ds((A \cup B)') = d olsun.
Verilen eleman sayıları arasındaki ilişkileri denkleme dönüştürmek için.
2
Verilen bilgileri bu değişkenler cinsinden yazalım.
a=2ba = 2b, d=c+2d = c + 2, b+d=9b + d = 9 (çünkü A′=(B∖A)∪(A∪B)′A' = (B \setminus A) \cup (A \cup B)') ve a+b+c+d=19a + b + c + d = 19 (çünkü s(E)=19s(E) = 19).
Elde edilen denklemleri ortak çözerek bilinmeyenleri bulmak için.
3
Denklem sistemini çözelim.
b+d=9  ⟹  d=9−bb + d = 9 \implies d = 9 - b. Buradan c=d−2=7−bc = d - 2 = 7 - b elde edilir. Tüm değişkenleri a+b+c+d=19a + b + c + d = 19 denkleminde yerine yazarsak: 2b+b+(7−b)+(9−b)=19  ⟹  b+16=19  ⟹  b=32b + b + (7 - b) + (9 - b) = 19 \implies b + 16 = 19 \implies b = 3 bulunur.
bb değişkeninin değerine ulaşmak için.
4
s(A′∖B′)s(A' \setminus B') ifadesini sadeleştirelim.
A′∖B′=A′∩(B′)′=A′∩B=B∖AA' \setminus B' = A' \cap (B')' = A' \cap B = B \setminus A olduğundan s(A′∖B′)=s(B∖A)=b=3s(A' \setminus B') = s(B \setminus A) = b = 3 olur.
İstenen kümenin eleman sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin özellikleri ve eleman sayısı bağıntıları
Soru 170Soru →

Her pp ve qq önermesi için p⇔q′p \Leftrightarrow q' iki yönlü koşullu önermesi, (p⇒q)′∨(q⇒p)′(p \Rightarrow q)' \vee (q \Rightarrow p)' bileşik önermesine her zaman denktir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Her pp ve qq önermesi için p⇔q′p \Leftrightarrow q' iki yönlü koşullu önermesi, (p⇒q)′∨(q⇒p)′(p \Rightarrow q)' \vee (q \Rightarrow p)' bileşik önermesine her zaman denktir.
Bileşik önermelerin doğruluk tabloları incelendiğinde, her iki ifadenin de sadece pp ve qq önermelerinin doğruluk değerlerinin farklı olduğu durumlarda doğru (1), aynı olduğu durumlarda ise yanlış (0) değerini aldığı görülür. Dolayısıyla bu iki önerme her zaman birbirine denktir.

Adım Adım Çözüm

1
p⇔q′p \Leftrightarrow q' iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değerlerini pp ve qq önermelerinin alabilece��i dört farklı doğruluk durumu için inceleyelim.
p=1,q=1p=1, q=1 için 1⇔0≡01 \Leftrightarrow 0 \equiv 0; p=1,q=0p=1, q=0 için 1⇔1≡11 \Leftrightarrow 1 \equiv 1; p=0,q=1p=0, q=1 için 0⇔0≡10 \Leftrightarrow 0 \equiv 1; p=0,q=0p=0, q=0 için 0⇔1≡00 \Leftrightarrow 1 \equiv 0.
İki yönlü koşullu önermenin tanımına göre bileşenlerin doğruluk değerleri farklıyken sonuç 0, aynıyken sonuç 1'dir.
2
(p⇒q)′∨(q⇒p)′(p \Rightarrow q)' \vee (q \Rightarrow p)' bileşik önermesinin doğruluk değerlerini aynı dört durum için inceleyelim.
p=1,q=1p=1, q=1 için (1⇒1)′∨(1⇒1)′≡0∨0≡0(1 \Rightarrow 1)' \vee (1 \Rightarrow 1)' \equiv 0 \vee 0 \equiv 0; p=1,q=0p=1, q=0 için (1⇒0)′∨(0⇒1)′≡1∨0≡1(1 \Rightarrow 0)' \vee (0 \Rightarrow 1)' \equiv 1 \vee 0 \equiv 1; p=0,q=1p=0, q=1 için (0⇒1)′∨(1⇒0)′≡0∨1≡1(0 \Rightarrow 1)' \vee (1 \Rightarrow 0)' \equiv 0 \vee 1 \equiv 1; p=0,q=0p=0, q=0 için (0⇒0)′∨(0⇒0)′≡0∨0≡0(0 \Rightarrow 0)' \vee (0 \Rightarrow 0)' \equiv 0 \vee 0 \equiv 0.
Koşullu önermenin tanımına göre 1⇒0≡01 \Rightarrow 0 \equiv 0 olup diğer tüm durumlar 1'dir. Değili alındığında ise sadece 1⇒01 \Rightarrow 0 durumunda sonuç 1 olur.
3
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak iki bileşik önermenin denkliğini kontrol edelim.
Her iki önermenin de (p,q)(p, q) ikililerinin (1,1),(1,0),(0,1),(0,0)(1,1), (1,0), (0,1), (0,0) durumlarında sırasıyla 0,1,1,00, 1, 1, 0 doğruluk değerlerini aldığı görülür.
Aynı doğruluk tablosuna sahip olan iki önerme mantıksal olarak birbirine denktir.

Anahtar Kavram

Koşullu ve iki yönlü koşullu önermelerin doğruluk değerleri ve mantıksal eşdeğerlikleri
Soru 171Soru →

Bir teknoloji mağazasında satışa sunulan dizüstü bilgisayarlar;
* Dokunmatik ekranı olanlar (DD kümesi),
* İşlemcisi yüksek performanslı olanlar (II kümesi),
* Depolama alanı 512 GB ve üzeri olanlar (HH kümesi)
olarak sınıflandırılmıştır.

Bu mağazadaki tüm bilgisayarların kümesi EE evrensel kümesi olduğuna göre; yüksek performanslı işlemciye sahip olup dokunmatik ekranı olmayan veya 512 GB'tan az depolama alanına sahip bilgisayarların kümesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I∖(D∩H)I \setminus (D \cap H)

Cevap

İşlemcisi yüksek performanslı bilgisayarlar kümesinden, hem dokunmatik ekranı olan hem de 512 GB ve üzeri depolama alanına sahip bilgisayarların çıkarılmasıyla elde edilen kümedir, yani I∖(D∩H)I \setminus (D \cap H) ifadesidir.
Yüksek performanslı işlemciye sahip bilgisayarlar II kümesi ile, dokunmatik ekranlı bilgisayarlar DD kümesi ile ve 512 GB ve üzeri depolama alanına sahip bilgisayarlar HH kümesi ile temsil edilmektedir. Soruda istenen bilgisayarlar II kümesinin elemanı olmalı, ancak hem dokunmatik ekranı olan hem de 512 GB ve üzeri depolama alanına sahip olan (D∩HD \cap H) kümesinde yer almamalıdır. Bu durum küme işlemleriyle I∖(D∩H)I \setminus (D \cap H) olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel ifadeleri küme sembolleriyle eşleştirmek.
Dokunmatik ekranı olanlar DD, işlemcisi yüksek performanslı olanlar II ve depolama alanı 512 GB ve üzeri olanlar HH kümesidir. Bu durumda, dokunmatik ekranı olmayanlar D′D' (tümleyen), 512 GB'tan az depolama alanına sahip olanlar ise H′H' kümesi ile temsil edilir.
Soruda verilen sözel koşulları matematiksel küme işlemlerine dönüştürebilmek.
2
İstenen bilgisayar özelliklerini mantıksal ve kümesel olarak birleştirmek.
'Yüksek performanslı işlemciye sahip' koşulu II kümesini belirtir. 'Dokunmatik ekranı olmayan veya 512 GB'tan az depolama alanına sahip' koşulu ise (D′∪H′)(D' \cup H') birleşim kümesini belirtir. Bu iki koşulun birlikte sağlanması ('...olup...' bağlacı ile) kesişim işlemini gerektirir: I∩(D′∪H′)I \cap (D' \cup H').
Soruda tanımlanan alt kümenin matematiksel ifadesini oluşturmak.
3
De Morgan kurallarını ve fark işleminin özelliğini kullanarak ifadeyi sadeleştirmek.
De Morgan kuralına göre D′∪H′=(D∩H)′D' \cup H' = (D \cap H)' yazılabilir. Bu durumda küme I∩(D∩H)′I \cap (D \cap H)' halini alır. Kesişim ve tümleyen özellikleri gereği A∩B′=A∖BA \cap B' = A \setminus B olduğundan, elde edilen ifade I∖(D∩H)I \setminus (D \cap H) şeklinde yazılır.
Seçeneklerde yer alan en sade ve standart küme gösterimine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin mantıksal bağlaçlar yardımıyla ifade edilmesi ve De Morgan kurallarının uygulanması.
Soru 172Soru →

Bir okuldaki öğrenciler ve bu öğrencilerin üye oldukları A ile B spor kulüpleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* A kulübüne üye olup B kulübüne üye olmayan öğrenci sayısı, her iki kulübe de üye olmayan öğrenci sayısının 2 katıdır.
* B kulübüne üye olup A kulübüne üye olmayan öğrenci sayısı 9'dur.
* A kulübüne üye olan öğrenci sayısı 21'dir.
* En az bir kulübe üye olan öğrenci sayısı, en çok bir kulübe üye olan öğrenci sayısından 3 eksiktir.

Buna göre, her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı 5'tir.
Denklemler doğru kurulup çözüldüğünde her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı 5 olarak bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki ayrık bölgelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade edin.
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(A∩B)=ys(A \cap B) = y, s(B∖A)=zs(B \setminus A) = z ve s((A∪B)′)=ws((A \cup B)') = w olsun.
Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için sistematik bir gösterim gereklidir.
2
Verilen sözel önermeleri bu değişkenler cinsinden denklemlere dökün.
x=2wx = 2w, z=9z = 9, x+y=21x + y = 21 ve x+y+z=(x+z+w)−3x + y + z = (x + z + w) - 3 denklemleri elde edilir.
En az bir kulübe üye olanlar s(A∪B)=x+y+zs(A \cup B) = x + y + z, en çok bir kulübe üye olanlar ise s((A∩B)′)=x+z+ws((A \cap B)') = x + z + w ile temsil edilir.
3
Elde edilen son denklemdeki benzer terimleri sadeleştirin.
y=w−3y = w - 3 bağıntısı bulunur.
Denklemin her iki tarafındaki xx ve zz terimleri birbirini götürür.
4
Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade edip denklemi çözün.
2w+(w−3)=21  ⟹  3w=24  ⟹  w=82w + (w - 3) = 21 \implies 3w = 24 \implies w = 8 bulunur.
x=2wx = 2w ve y=w−3y = w - 3 değerleri x+y=21x + y = 21 denkleminde yerine yazılır.
5
Kesişim kümesinin eleman sayısını (yy) hesaplayın.
y=8−3=5y = 8 - 3 = 5 elde edilir.
Bulunan w=8w = 8 değeri y=w−3y = w - 3 eşitliğinde yerine konulur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme, kesişim ve birleşim işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulamaları.
Soru 173Soru →

Bir kutudaki kartların özellikleri hakkında şu önerme tanımlanıyor:

"Kartın rengi kırmızı ise üzerindeki sayı tektir."

Bu önerme p⇒qp \Rightarrow q ile gösterildiğine göre, önermenin karşıtı, tersi, karşıt tersi, veya ba��lacı cinsinden eşdeğeri ve iki yönlü koşullu önerme biçimiyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Önermenin karşıt tersi 'Kartın rengi kırmızı değilse üzerindeki sayı tek değildir.' ifadesidir.

Cevap

Önermenin karşıt tersi 'Kartın rengi kırmızı değilse üzerindeki sayı tek değildir.' ifadesidir.
Karşıt tersi ifadesinde belirtilen 'Kartın rengi kırmızı değilse üzerindeki sayı tek değildir.' önermesi, p⇒qp \Rightarrow q önermesinin karşıt tersi (q′⇒p′q' \Rightarrow p') değil, tersi (p′⇒q′p' \Rightarrow q') olduğundan bu ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal önermeyi sembolik mantık diline çevirip bileşenlerini belirleme.
pp: 'Kartın rengi kırmızıdır.' ve qq: 'Kartın üzerindeki sayı tektir.' olmak üzere orijinal önerme p⇒qp \Rightarrow q şeklindedir.
Önermenin diğer formlarını analiz edebilmek için temel bileşen önermelerini tanımlamamız gerekir.
2
Önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğerini kontrol etme.
p⇒q≡p′∨qp \Rightarrow q \equiv p' \vee q kuralına göre önerme 'Kartın rengi kırmızı değildir veya üzerindeki sayı tektir.' ifadesine denk olur. Bu bilgi doğrudur.
Koşullu önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğerlik kuralını test etmek için.
3
Önermenin karşıtını, tersini ve karşıt tersini bulma.
Karşıtı: q⇒pq \Rightarrow p ('Kartın üzerindeki sayı tek ise rengi kırmızıdır.'). Tersi: p′⇒q′p' \Rightarrow q' ('Kartın rengi kırmızı değilse üzerindeki sayı tek değildir.'). Karşıt tersi: q′⇒p′q' \Rightarrow p' ('Kartın üzerindeki sayı tek değilse rengi kırmızı değildir.').
Karşıt, ters ve karşıt tersi tanımlarını doğru uygulayarak yanlış seçeneği belirlemek için.
4
İki yönlü koşullu önerme tanımını kontrol etme.
p⇔q≡(p⇒q)∧(q⇒p)p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) kuralı gereğince önerme ile karşıtının 've' bağlacı ile birleşimi 'Kartın rengi kırmızıdır ancak ve ancak üzerindeki sayı tektir.' ifadesine denktir. Bu bilgi de doğrudur.
İki yönlü koşullu önermenin koşullu önermelerle olan ilişkisini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Koşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermeler
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 174Soru →

Bir resim sergisinde sergilenen tüm tabloların oluşturduğu küme evrensel kümedir. Bu tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılanların kümesi AA, manzara konusu içerenlerin kümesi ise BB olarak belirlenmiştir.

Bu sergideki tablolarla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* Sergide toplam 40 tablo bulunmaktadır.
* Yağlı boya tekniğiyle yapılmamış manzara tablolarının sayısı, manzara konusu içermeyen yağlı boya tablolarının sayısının 2 katıdır.
* Sergideki yağlı boya tekniğiyle yapılmamış ve manzara konusu içermeyen tabloların sayısı, manzara konusu içeren yağlı boya tablolarının sayısının 3 katıdır.
* Sergideki tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılmış veya manzara konusu içerenlerin toplam sayısı 28'dir.

Buna göre, bu sergideki tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılmış olup manzara konusu içermeyenlerin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sergideki tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılmış olup manzara konusu içermeyenlerin sayısı 8'dir.
Evrensel kümenin eleman sayısı olan 40'tan, yağlı boya veya manzara resmi olanların (s(A∪B)=28s(A \cup B) = 28) çıkarılmasıyla hem yağlı boya olmayan hem de manzara içermeyen tabloların sayısı w=12w = 12 olarak bulunur. Bu sayı, kesişim bölgesinin (zz) 3 katı olduğundan kesişim z=4z = 4 olur. Birleşim kümesinden kesişim çıkarıldığında fark bölgelerinin toplamı x+y=24x + y = 24 kalır. y=2xy = 2x verildiğinden 3x=243x = 24 denkleminden x=8x = 8 elde edilir ki bu da yağlı boya olup manzara konusu içermeyenlerin (s(A∖B)s(A \setminus B)) sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgelerini değişkenlerle tanımlama
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y, s(A∩B)=zs(A \cap B) = z ve s((A∪B)′)=ws((A \cup B)') = w tanımlamaları yapılır.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atanır.
2
Verilen bilgileri denklemlere dökme
x+y+z+w=40x + y + z + w = 40 (toplam tablo sayısı), y=2xy = 2x, w=3zw = 3z ve x+y+z=28x + y + z = 28 (A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı) denklemleri elde edilir.
Problemdeki ilişkileri çözebilmek için denklem sistemi oluşturulur.
3
Tümleyen bölgesinin (ww) eleman sayısını bulma
(x+y+z)+w=40  ⟹  28+w=40  ⟹  w=12(x + y + z) + w = 40 \implies 28 + w = 40 \implies w = 12 bulunur.
Evrensel kümenin eleman sayısı ile birleşim kümesinin eleman sayısı arasındaki fark, birleşim kümesinin dışındaki (tümleyen) eleman sayısını verir.
4
Kesişim bölgesinin (zz) eleman sayısını bulma
w=3z  ⟹  12=3z  ⟹  z=4w = 3z \implies 12 = 3z \implies z = 4 bulunur.
Tümleyen ile kesişim kümesi arasındaki kat ilişkisi kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı elde edilir.
5
Fark kümelerinin eleman sayıları toplamını (x+yx + y) bulma
x+y+z=28  ⟹  x+y+4=28  ⟹  x+y=24x + y + z = 28 \implies x + y + 4 = 28 \implies x + y = 24 bulunur.
Birleşim kümesinden kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak sadece bir kümeye ait olan bölgelerin toplamı elde edilir.
6
Sadece yağlı boya tablosu olanların sayısını (xx) hesaplama
y=2xy = 2x olduğundan, x+2x=24  ⟹  3x=24  ⟹  x=8x + 2x = 24 \implies 3x = 24 \implies x = 8 bulunur.
Fark kümeleri arasındaki kat ilişkisi yerine yazılarak hedeflenen fark kümesinin (A∖BA \setminus B) eleman sayısı çözülür.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin Venn şeması üzerinde bölgelerle gösterimi ve evrensel küme ile ilişkisi.
Soru 175Soru →

Bir okulda düzenlenen iki farklı seminere katılan öğrenciler üzerine bir araştırma yapılmıştır. Bu okulda bulunan tüm öğrencilerin kümesi evrensel küme EE, birinci seminere katılan öğrencilerin kümesi AA ve ikinci seminere katılan öğrencilerin kümesi BB olarak tanımlanmıştır.

Bu kümelerle ilgili a��ağıdaki bilgiler verilmiştir:
* İki seminere de katılmayan öğrenci sayısı, sadece ikinci seminere katılan öğrenci sayısının yarısına eşittir.
* Birinci seminere katılıp ikinci seminere katılmayan öğrenci sayısı, iki seminere de katılan öğrenci sayısının 22 katına eşittir.
* Bu okulda toplam 4848 öğrenci bulunmaktadır.
* Birinci seminere katılmayan öğrenci sayısı 1818'dir.

Buna g��re, birinci seminere katılmayan öğrencilerin kümesi A′A' ve ikinci seminere katılmayan öğrencilerin kümesi B′B' olmak üzere, s(A′∖B′)s(A' \setminus B') değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Doğru cevap, birinci seminere katılmayan fakat ikinci seminere katılan öğrencilerin sayısı olan 12'dir. A′∖B′=B∖AA' \setminus B' = B \setminus A eşitliği kullanılarak bu bölgedeki eleman sayısı 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki bölgeleri isimlendirme ve verilen bağıntıları denklem haline getirme.
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y, s(A∩B)=zs(A \cap B) = z ve s((A∪B)′)=ws((A \cup B)') = w olsun. Bu durumda evrensel kümenin eleman sayısı s(E)=x+y+z+w=48s(E) = x + y + z + w = 48 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bir bölgeyi değişkenlerle temsil ederiz.
2
Birinci seminere katılmayanlar ve her iki seminere de katılmayanlar ile ilgili denklemleri çözme.
İki seminere de katılmayanlar w=y2  ⟹  y=2ww = \frac{y}{2} \implies y = 2w ve birinci seminere katılmayanlar s(A′)=y+w=18s(A') = y + w = 18 olduğundan, 2w+w=18  ⟹  3w=18  ⟹  w=62w + w = 18 \implies 3w = 18 \implies w = 6 ve y=12y = 12 bulunur.
Birinci seminere katılmayanlar kümesi A′A' olup sadece ikinci seminere katılanlar ile hiçbirine katılmayanların toplamıdır. Buradan yy ve ww değerlerini elde ederiz.
3
Toplam öğrenci sayısı ve diğer bölgelerin eleman sayılarını bulma.
x+12+z+6=48  ⟹  x+z=30x + 12 + z + 6 = 48 \implies x + z = 30 olur. x=2zx = 2z verildiğinden, 2z+z=30  ⟹  3z=30  ⟹  z=102z + z = 30 \implies 3z = 30 \implies z = 10 ve x=20x = 20 bulunur.
Evrensel kümenin toplam eleman sayısını kullanarak xx ve zz değerlerini buluruz.
4
İstenen küme işleminin ifadesini sadeleştirip sonucu bulma.
s(A′∖B′)=s(A′∩(B′)′)=s(A′∩B)=s(B∖A)=y=12s(A' \setminus B') = s(A' \cap (B')') = s(A' \cap B) = s(B \setminus A) = y = 12 bulunur.
Fark ve tümleme işlemlerinin özelliklerini kullanarak A′∖B′A' \setminus B' kümesinin aslında B∖AB \setminus A (sadece ikinci seminere katılanlar) kümesine eşit olduğunu belirleriz.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin özellikleri ile Venn şeması üzerinde bölge analizi.
Soru 176Soru →

Bir okulda düzenlenen spor faaliyetlerinde basketbol, voleybol ve tenis kurslarına katılan Esra, Kübra ve Yelda isimli üç öğrencinin bu kurslara katılım durumlarıyla ilgili aşağıdaki önermeler tanımlanıyor:

pp: "Esra, basketbol kursuna katılmaktadır."
qq: "Kübra, voleybol kursuna katılmaktadır."
rr: "Yelda, tenis kursuna katılmaktadır."

(p′⇒q)∨(q⇔r)(p' \Rightarrow q) \vee (q \Leftrightarrow r)

bileşik önermesinin doğruluk değerinin 00 olduğu bilinmektedir.

Buna göre Esra, Kübra ve Yelda'nın bu kurslara katılım durumları sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Katılmamaktadır - Katılmamaktadır - Katılmaktadır

Cevap

Katılmamaktadır - Katılmamaktadır - Katılmaktadır
Bileşik önerme veya (∨\vee) bağlacıyla bağlandığı ve sonucu 0 olduğu için, sol ve sağ taraftaki iki önermenin de sonucu 0 olmalıdır. Sol taraftaki p′⇒q≡0p' \Rightarrow q \equiv 0 ifadesinden p′≡1p' \equiv 1 (yani p≡0p \equiv 0) ve q≡0q \equiv 0 bulunur. Sağ taraftaki q⇔r≡0q \Leftrightarrow r \equiv 0 ifadesinde q≡0q \equiv 0 olduğu için r≡1r \equiv 1 olmalıdır. Dolayısıyla sırasıyla Esra katılmamakta, Kübra katılmamakta, Yelda katılmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etme
(p′⇒q)∨(q⇔r)≡0(p' \Rightarrow q) \vee (q \Leftrightarrow r) \equiv 0 ise veya (∨\vee) bağlacının özelliğinden dolayı her iki bileşen de 00 olmalıdır. Yani, p′⇒q≡0p' \Rightarrow q \equiv 0 ve q⇔r≡0q \Leftrightarrow r \equiv 0 elde edilir.
Veya bağlacı içeren bir bileşik önermenin sonucu yalnızca iki önerme de yanlış olduğunda yanlış (0) olur.
2
Koşullu önermeyi çözerek Esra ve Kübra'nın durumlarını belirleme
p′⇒q≡0p' \Rightarrow q \equiv 0 ise koşullu önermenin özelliğinden dolayı ön bileşen doğru, art bileşen yanlış olmalıdır. Buradan p′≡1p' \equiv 1 ve q≡0q \equiv 0 bulunur. p′≡1p' \equiv 1 ise p≡0p \equiv 0 olur. Yani Esra (p≡0p \equiv 0) ve Kübra (q≡0q \equiv 0) kurslara katılmamaktadır.
İse (⇒\Rightarrow) bağlacında sonucun 0 olması tek bir durumda mümkündür: 1⇒0≡01 \Rightarrow 0 \equiv 0.
3
İki yönlü koşullu önermeyi çözerek Yelda'nın durumunu belirleme
q⇔r≡0q \Leftrightarrow r \equiv 0 olmalıdır. İki yönlü koşullu önermenin yanlış olması için önermelerin doğruluk değerlerinin farklı olması gerekir. q≡0q \equiv 0 olduğundan, r≡1r \equiv 1 olmak zorundadır. Yani Yelda kursa katılmaktadır.
Ancak ve ancak (⇔\Leftrightarrow) bağlacı, iki önermenin doğruluk değerleri farklı olduğunda 0 değerini alır.

Anahtar Kavram

Koşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermelerin Doğruluk Değerleri
Soru 177Soru →

Bir p⇒qp \Rightarrow q koşullu önermesinin karşıtı ile karşıt tersi her zaman mantıksal olarak denktir; bu nedenle bu iki önermenin iki yönlü koşullu bağlaç (⇔\Leftrightarrow) ile birleştirilmesiyle elde edilen (q⇒p)⇔(q′⇒p′)(q \Rightarrow p) \Leftrightarrow (q' \Rightarrow p') bileşik önermesinin doğruluk değeri her zaman 11'dir. Bu ifade doğru bir ifade midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Bir önermenin karşıtı ile karşıt tersi mantıksal olarak denk olmadığından, bu iki önermenin iki yönlü koşullu bağlaç ile bağlanmasıyla oluşan önerme her zaman 1 değerini almaz. Dolayısıyla verilen ifade yanlıştır.
Karşıt önerme (q⇒pq \Rightarrow p) ile karşıt ters önerme (q′⇒p′q' \Rightarrow p') mantıksal olarak birbirine denk olmadığından, aralarındaki iki yönlü koşullu önerme (ancak ve ancak bağlacı) her zaman 1 değerini almaz (yani bir totoloji değildir). Dolayısıyla verilen ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin karşıtı ve karşıt tersi kavramlarını belirleme.
p⇒qp \Rightarrow q önermesinin karşıtı q⇒pq \Rightarrow p, karşıt tersi ise q′⇒p′q' \Rightarrow p' olarak yazılır.
Önermelerin karşıtını bulmak için bileşenlerin yerleri değiştirilir; karşıt tersini bulmak için ise yerleri değiştirilip olumsuzları (değilleri) alınır.
2
Karşıt ve karşıt ters önermelerin mantıksal doğruluk değerlerini veya bağlacı formunda yazarak karşılaştırma.
q⇒p≡q′∨pq \Rightarrow p \equiv q' \vee p ve q′⇒p′≡(q′)′∨p′≡q∨p′q' \Rightarrow p' \equiv (q')' \vee p' \equiv q \vee p' elde edilir. Bu iki ifade birbirine denk değildir (q′∨p≢q∨p′q' \vee p \not\equiv q \vee p').
Koşullu önermeyi veya bağlacına çevirme kuralı (x⇒y≡x′∨yx \Rightarrow y \equiv x' \vee y) kullanılarak önermelerin eşdeğer olup olmadığı kolayca incelenebilir.
3
İki önermenin iki yönlü koşullu önerme (⇔\Leftrightarrow) altındaki durumunu değerlendirme.
Denk olmayan iki önerme çift gerektirme (iki yönlü koşullu önerme) ile bağlandığında, doğruluk değerlerinin farklı olduğu durumlarda (örneğin p≡0,q≡1p \equiv 0, q \equiv 1) sonuç 00 çıkacaktır. Dolayısıyla önermenin doğruluk değeri her zaman 11 değildir.
İki yönlü koşullu önermenin (A⇔BA \Leftrightarrow B) doğruluk değerinin 11 olması için AA ile BB'nin doğruluk değerlerinin aynı (eşdeğer) olması gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin karşıtı, tersi, karşıt tersi kavramları ve iki yönlü koşullu önermenin tanımı

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, pp ve qq önermelerinin alabileceği 4 farklı doğruluk durumu (1−1,1−0,0−1,0−01-1, 1-0, 0-1, 0-0) için doğruluk tablosu oluşturulabilir. Tabloda q⇒pq \Rightarrow p ve q′⇒p′q' \Rightarrow p' sütunlarının değerleri karşılaştırıldığında, p≡0,q≡1p \equiv 0, q \equiv 1 durumu için ilk önermenin 00, ikincisinin 11 olduğu görülür. Farklı satırlarda farklı doğruluk değerleri aldıklarından bu iki önermenin iki yönlü koşullu önermesi her zaman 11 olamaz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 178Soru →

Bir kırtasiyedeki defterlerin tamamının oluşturduğu küme evrensel küme EE'dir. Bu kırtasiyedeki defterlerden;
* Çizgili defterlerin kümesi AA,
* Kareli defterlerin kümesi BB,
* Sert kapaklı defterlerin kümesi CC
olarak tanımlanıyor. Çizgili ve kareli defterlerin kümeleri ayrıktır (A∩B=∅A \cap B = \emptyset).

Bu kırtasiyedeki defterlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Çizgili olup sert kapaklı olmayan defter sayısı 15'tir.
* Kareli olup sert kapaklı olmayan defter sayısı 12'dir.
* Sert kapaklı olup ne çizgili ne de kareli olan defter sayısı 8'dir.
* Ne çizgili ne kareli ne de sert kapaklı olan defter sayısı 10'dur.

Kırtasiyedeki sert kapaklı defter sayısı, sert kapaklı olmayan defter sayısına eşit olduğuna göre, çizgili veya kareli olan sert kapaklı defterlerin toplam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Çizgili veya kareli olan sert kapaklı defterlerin toplam sayısı 29'dur.
Sert kapaklı olmayan defter sayısı, kırtasiyedeki tüm sert kapaklı olmayan defterlerin (çizgili olup sert kapaklı olmayan 15 defter, kareli olup sert kapaklı olmayan 12 defter ve bu özelliklerin hiçbirine sahip olmayan 10 defter) toplamı olan 37'dir. Sert kapaklı defter sayısı da 37'ye eşittir. Bu sert kapaklı defterlerden ne çizgili ne de kareli olan 8 defteri çıkardığımızda geriye kalan 29 defter, çizgili veya kareli olan sert kapaklı defterlerin sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Sert kapaklı olmayan defterlerin kümesinin eleman sayısını belirlemek
s(C′)=37s(C') = 37
Sert kapaklı olmayan defterler; çizgili olup sert kapaklı olmayan (s(A∖C)=15s(A \setminus C) = 15), kareli olup sert kapaklı olmayan (s(B∖C)=12s(B \setminus C) = 12) ve ne çizgili ne kareli ne de sert kapaklı olan (s((A∪B∪C)′)=10s((A \cup B \cup C)') = 10) elemanların birleşimidir. Bu kümeler ayrık olduğundan eleman sayıları toplanır: 15+12+10=3715 + 12 + 10 = 37.
2
Sert kapaklı defterlerin kümesinin eleman sayısını belirlemek
s(C)=37s(C) = 37
Soruda sert kapaklı defterlerin sayısının, sert kapaklı olmayan defterlerin sayısına eşit olduğu verilmiştir (s(C)=s(C′)s(C) = s(C')).
3
Çizgili veya kareli olan sert kapaklı defterlerin sayısını hesaplamak
s((A∪B)∩C)=29s((A \cup B) \cap C) = 29
Sert kapaklı defterler kümesi (CC), çizgili veya kareli olanlar ile ne çizgili ne de kareli olanlar (C∖(A∪B)C \setminus (A \cup B)) şeklinde iki ayrık bölgeye ayrılabilir. Sert kapaklı olup ne çizgili ne de kareli olan defter sayısı 8 olduğundan, çizgili veya kareli olan sert kapaklı defter sayısı 37−8=2937 - 8 = 29 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin eleman sayıları bazında modellenmesi ve ayrık kümelerle yapılan işlemler.
Soru 179Soru →

Bir akıllı tarım sulama sisteminde su vanasının açılma kuralı, iki yönlü koşullu önerme olan p⇔qp \Leftrightarrow q biçiminde tanımlanmıştır. Bu önerme, (p⇒q)∧(q⇒p)(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) bileşik önermesine denktir. Buradaki temel önermeler şunlardır:

pp: "Toprak nem oranı %30'un altındadır."

qq: "Ortam sıcaklığı 30°C'nin üzerindedir."

Yazılımdaki bir hata nedeniyle, vananın açılması için uygulanan kural p⇔qp \Leftrightarrow q yerine, bu iki yönlü koşullu önermeyi oluşturan iki koşullu önermeden birinin karşıtı olan önerme veya bağlacı cinsinden sisteme yüklenmiştir.

Sisteme hatalı olarak yüklenen yeni sulama kuralı p∨q′p \lor q' olduğuna göre, bu kural aşağıdakilerden hangisine mantıksal olarak denktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: q⇒pq \Rightarrow p önermesine

Cevap

Hatalı yüklenen sulama kuralı, q ise p koşullu önermesine mantıksal olarak denktir.
Hatalı yüklenen p∨q′p \lor q' kuralı, veya bağlacının değişme özelliği kullanılarak q′∨pq' \lor p şeklinde yazılabilir. Koşullu önermelerin veya bağlacına dönüştürülme kuralına (A⇒B≡A′∨BA \Rightarrow B \equiv A' \lor B) göre bu ifade doğrudan q ise p koşullu önermesine denktir. Dolayısıyla doğru cevap q ise p önermesidir.

Adım Adım Çözüm

1
İki yönlü koşullu önermenin bileşenlerini belirlemek
p⇔q≡(p⇒q)∧(q⇒p)p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)
İki yönlü koşullu önerme, tanımı gereği karşılıklı iki koşullu önermenin 've' bağlacı ile birleşimidir. Bu bileşenler p⇒qp \Rightarrow q ve q⇒pq \Rightarrow p önermeleridir.
2
Koşullu önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğerlik kuralını hatırlamak
A⇒B≡A′∨BA \Rightarrow B \equiv A' \lor B
Herhangi bir koşullu önerme, birinci bileşenin olumsuzu (değili) ile ikinci bileşenin veya bağlacıyla bağlanmasıyla elde edilen önermeye denktir.
3
Sisteme yüklenen kuralı düzenlemek ve koşullu önermeye dönüştürmek
p∨q′≡q′∨p≡q⇒pp \lor q' \equiv q' \lor p \equiv q \Rightarrow p
Veya bağlacının değişme özelliği kullanılarak p∨q′p \lor q' ifadesi q′∨pq' \lor p şeklinde yazılır. Eşdeğerlik kuralına göre A′∨BA' \lor B biçimindeki bu ifade (A=qA = q ve B=pB = p alınarak) q⇒pq \Rightarrow p önermesine denk olur.

Anahtar Kavram

Koşullu ve iki yönlü koşullu önermelerin mantıksal eşdeğerleri
Soru 180Soru →

Bir kütüphanedeki kitapların tamamının oluşturduğu k��me evrensel küme EE'dir. Bu kütüphanede bulunan kitaplardan;

* Roman türündeki kitapların kümesi RR,
* Yazarı Türk olan kitapların kümesi TT,
* Basım yılı 2020 ve sonrası olan kitapların kümesi YY

ile gösterilmektedir.

Buna göre, bu kütüphanedeki kitaplardan "yazarı Türk olmayan veya basım yılı 2020'den önce olan romanlar" kümesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: R∖(T∩Y)R \setminus (T \cap Y)

Cevap

R∖(T∩Y)R \setminus (T \cap Y)
Yazarı Türk olmayan (T′T') veya basım yılı 2020'den önce olan (Y′Y') romanların (RR) kümesi matematiksel olarak R∩(T′∪Y′)R \cap (T' \cup Y') şeklinde ifade edilir. De Morgan kuralı ile T′∪Y′=(T∩Y)′T' \cup Y' = (T \cap Y)' eşitliği yazılır. Bu eşitlik kesişim ifadesinde yerine konulduğunda R∩(T∩Y)′R \cap (T \cap Y)' elde edilir. Son olarak, A∩B′=A∖BA \cap B' = A \setminus B fark tanımı kullanıldığında bu küme R∖(T∩Y)R \setminus (T \cap Y) ifadesine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen özellikleri küme sembolleriyle ifade edin.
"Romanlar" kümesi RR, "yazarı Türk olmayan kitaplar" kümesi T′T' ve "basım yılı 2020'den önce olan kitaplar" (yani 2020 ve sonrası olmayanlar) kümesi Y′Y' ile gösterilir. Bu iki koşulun "veya" bağlacıyla birleşimi (T′∪Y′)(T' \cup Y') olur. Bu özelliklere sahip romanlar ise R∩(T′∪Y′)R \cap (T' \cup Y') kümesidir.
Sözel olarak verilen küme özelliklerini matematiksel sembollere dökmek.
2
De Morgan kuralını kullanarak tümleme işlemini sadeleştirin.
De Morgan kurallarına göre, iki kümenin tümleyenlerinin birleşimi, kesişimlerinin tümleyenine eşittir: T′∪Y′=(T∩Y)′T' \cup Y' = (T \cap Y)'. Dolayısıyla, ifademiz R∩(T∩Y)′R \cap (T \cap Y)' şekline dönüşür.
Seçeneklerdeki ifadelerle eşleştirebilmek için tümleme özelliklerinden faydalanmak.
3
Kümelerde fark işleminin tanımını uygulayın.
Herhangi iki AA ve BB kümesi için A∩B′=A∖BA \cap B' = A \setminus B eşitliği geçerlidir. Burada A=RA = R ve B=(T∩Y)B = (T \cap Y) olarak düşünülürse, R∩(T∩Y)′=R∖(T∩Y)R \cap (T \cap Y)' = R \setminus (T \cap Y) elde edilir.
Kesişim ve tümleyen işlemini fark işlemine dönüştürerek en sade seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemleri ile De Morgan kurallarının kullanımı
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 9 / 10Sonraki
Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 9 | Examkin