Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Bir AA kümesi, 3'ten başlayıp 4'er 4'er artan ardışık tam sayılardan; BB kümesi ise 5'ten başlayıp 3'er 3'er artan ardışık tam sayılardan oluşmaktadır. Her iki kümenin de eleman sayısı eşit olup AA kümesinin en büyük elemanı ile BB kümesinin en büyük elemanının toplamı 204'tür. Buna göre, bu iki kümenin ortak elemanlarının sayısı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    12

Answer

Ortak elemanların sayısı 7'dir.
Ortak elemanlar ilk terimi 11 ve ortak farkı 12 olan bir aritmetik dizi oluşturur. B kümesinin en büyük elemanı 89 olduğundan ortak elemanlar bu değeri aşamaz. Bu koşulu sağlayan ortak elemanlar 11, 23, 35, 47, 59, 71 ve 83 olmak üzere toplam 7 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin genel terimlerini (n. elemanlarını) n değişkenine bağlı olarak yazalım.
AA kümesinin en büyük (n.) elemanı: TA=3+(n−1)×4=4n−1T_A = 3 + (n - 1) \times 4 = 4n - 1 olur. BB kümesinin en büyük (n.) elemanı ise: TB=5+(n−1)×3=3n+2T_B = 5 + (n - 1) \times 3 = 3n + 2 olur.
Her iki kümenin de eleman sayısı eşit olduğundan, en büyük elemanlar n. terim formülü olan a1+(n−1)da_1 + (n-1)d kullanılarak ifade edilir.
2
En büyük elemanların toplamını kullanarak eleman sayısı olan n değerini bulalım.
(4n−1)+(3n+2)=204⇒7n+1=204⇒7n=203⇒n=29(4n - 1) + (3n + 2) = 204 \Rightarrow 7n + 1 = 204 \Rightarrow 7n = 203 \Rightarrow n = 29 bulunur.
Verilen en büyük elemanların toplamı denklemine göre bilinmeyen eleman sayısı çözülür.
3
Kümelerin üst sınırlarını (en büyük elemanlarını) hesaplayalım.
AA kümesinin en büyük elemanı: 4(29)−1=1154(29) - 1 = 115 olur. BB kümesinin en büyük elemanı ise: 3(29)+2=893(29) + 2 = 89 olur. Bu durumda ortak elemanlar en fazla min⁡(115,89)=89\min(115, 89) = 89 değerini alabilir.
Ortak elemanlar her iki kümenin de sınırları içinde yer almak zorundadır.
4
Kesişim kümesinin ilk elemanını ve artış miktarını belirleyelim.
A={3,7,11,15,… }A = \{3, 7, 11, 15, \dots\} ve B={5,8,11,14,… }B = \{5, 8, 11, 14, \dots\} yazıldığında ilk ortak eleman 1111 olarak bulunur. Artış miktarı ise EKOK(4,3)=12\text{EKOK}(4, 3) = 12 olur.
Aritmetik dizilerin ortak elemanları, artış miktarlarının en küçük ortak katı kadar aralıklarla tekrarlanır.
5
Sınırlar dahilindeki ortak elemanların terim sayısını hesaplayalım.
Ortak elemanlar 1111 ile başlayıp 1212'şer artarak en fazla 8989'a kadar gidebilir. Bu koşula uyan en büyük terim 8383'tür (11+12×6=8311 + 12 \times 6 = 83). Terim sayısı formülü uygulanırsa: 83−1112+1=6+1=7\frac{83 - 11}{12} + 1 = 6 + 1 = 7 elde edilir.
Belirli bir kurala göre artan sonlu bir dizideki terim sayısını bulmak için son terimden ilk terim çıkarılıp artış miktarına bölünür ve sonuca 1 eklenir.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

Hints

1
Kümelerin eleman sayıları eşit olduğuna göre, n. elemanları genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ile yazıp toplamlarını 204'e eşitleyerek eleman sayısını bulun.
2
Eleman sayısını bulduktan sonra her iki kümenin en büyük elemanlarını hesaplayın. Ortak elemanlar, bu iki en büyük elemanın küçüğünü aşamaz.
3
Kümelerin ilk ortak elemanını yazarak bulun. Ardışık ortak elemanlar, kümelerin artış miktarları olan 3 ve 4'ün en küçük ortak katı (EKOK) kadar artacaktır. Son olarak terim sayısı formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer mantıkla, üç farklı artış miktarına sahip dizinin ortak elemanlarının sayısını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Kümelerin eleman sayısını bulduktan sonra, A kümesinin elemanlarını 4k+34k + 3 ve B kümesinin elemanlarını 3m+53m + 5 biçiminde yazabiliriz. Ortak elemanlar için x=4k+3=3m+5x = 4k + 3 = 3m + 5 eşitliği sağlanmalıdır. Buradan x+1=4(k+1)=3(m+2)x + 1 = 4(k + 1) = 3(m + 2) elde edilir. Dolayısıyla x+1x+1 sayısı hem 3'ün hem de 4'ün katı olmalı, yani 12'nin katı olmalıdır (x+1=12p⇒x=12p−1x + 1 = 12p \Rightarrow x = 12p - 1). Kümelerin sınırları olan 5≤x≤895 \le x \le 89 aralığındaki 12p−112p - 1 biçimindeki sayılar p=1,2,3,4,5,6,7p = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 değerleri için yazılabilir. Bu da 7 farklı ortak eleman olduğunu gösterir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic