Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar

aa, bb ve cc asal sayılardır.

ab+bc=17a^b + b^c = 17

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 15Answer
  5. E
    19

Answer

Farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Denklemdeki taban ve üslerin asal sayı olması gerektiği ve sonucun tek sayı (1717) olduğu göz önüne alındığında, terimlerden birinin çift sayı olması gerektiği sonucuna varılır. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan, durumlar analiz edilerek (3,2,3)(3, 2, 3) ve (2,3,2)(2, 3, 2) çözümleri elde edilir. Bu çözümlerden gelen toplam değerleri 88 ve 77 olup bunların toplamı 1515 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tek-çift analizi yapmak.
İki sayının toplamı 1717 (tek sayı) olduğundan, aba^b ve bcb^c ifadelerinden biri çift, diğeri tek olmalıdır.
İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı çift sayı vereceğinden, sonucun tek olması için terimlerden birinin mutlaka çift olması gerekir.
2
Birinci durumu (b=2b=2) analiz etmek.
b=2b = 2 (çift asal sayı) olması durumunda denklem a2+2c=17a^2 + 2^c = 17 haline gelir. Burada a2<17a^2 < 17 olmalıdır. Asal sayı olan aa için denenebilecek tek değer a=3a = 3 olup buradan 32+2c=17  ⟹  9+2c=17  ⟹  2c=8  ⟹  c=33^2 + 2^c = 17 \implies 9 + 2^c = 17 \implies 2^c = 8 \implies c = 3 elde edilir. c=3c=3 asal sayı olduğu için (3,2,3)(3, 2, 3) geçerli bir çözümdür. Bu durumda toplam 3+2+3=83+2+3 = 8 olur.
Çift olan tek asal sayının 2 olmasından yola ��ıkarak birinci olası durumu çözümlemek.
3
İkinci durumu (a=2a=2) analiz etmek.
a=2a = 2 olması durumunda denklem 2b+bc=172^b + b^c = 17 haline gelir. bb bir asal sayı olmalıdır. b=2b=2 için 2c=132^c = 13 olur ve bunu sağlayan asal sayı yoktur. Dolayısıyla bb tek asal sayı olmalıdır. b=3b=3 için 23+3c=17  ⟹  8+3c=17  ⟹  3c=9  ⟹  c=22^3 + 3^c = 17 \implies 8 + 3^c = 17 \implies 3^c = 9 \implies c = 2 elde edilir. c=2c=2 asal sayı olduğu için (2,3,2)(2, 3, 2) geçerli bir çözümdür. Bu durumda toplam 2+3+2=72+3+2 = 7 olur. b≥5b \geq 5 için 2b≥32>172^b \geq 32 > 17 olduğundan başka çözüm yoktur.
Çift asal sayı olma durumunu diğer terim için de değerlendirerek tüm çözümleri eksiksiz tespit etmek.
4
Değerleri toplamak.
a+b+ca+b+c toplamının alabileceği farklı değerler 77 ve 88 olup toplamları 7+8=157 + 8 = 15 bulunur.
Elde edilen farklı toplam değerlerinin toplamını bularak soruyu sonuçlandırmak.

Key Concept

Asal sayıların özellikleri, çift olan tek asal sayının 2 olması ve tek-çift sayı analizi.
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic