Examkin

Question

Difficulty: Very hardAsal Sayılar

aa, bb ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.

a⋅b⋅c=3(a+b+c+8)a \cdot b \cdot c = 3(a + b + c + 8)

olduğuna göre, a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    42
  3. C
    45
  4. 65Answer
  5. E
    32

Answer

En büyük değer olan 65'tir. Bu değer, asal sayıların {2, 3, 13} olarak belirlenmesinden sonra en büyük çarpanın parantez dışına (13 olarak) yerleştirilmesiyle elde edilir.
Çözüm sonucunda elde edilen tek geçerli asal sayı kümesi {2, 3, 13}'tür. Bu kümedeki elemanlar ile oluşturulabilecek a * (b + c) ifadesinin en büyük değeri, en büyük asal sayı olan 13'ün parantez dışına çarpan olarak yazılmasıyla elde edilen 65'tir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki çarpımın bölen analizini yapma.
a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı 3'ün katı olmalıdır. Sayılar asal olduğundan, içlerinden biri kesinlikle 3 olmalıdır. Kolaylık açısından c=3c = 3 seçelim.
Denklemin sağ tarafında 3 çarpanı bulunduğundan, eşitliğin sağlanabilmesi için sol taraf da 3 ile tam bölünmelidir.
2
Seçilen değeri denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapma.
3⋅a⋅b=3(a+b+3+8)  ⟹  a⋅b=a+b+113 \cdot a \cdot b = 3(a + b + 3 + 8) \implies a \cdot b = a + b + 11 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını ikiye düşürerek denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
3
Denklemi çarpanlara ayırma formatına dönüştürme.
a⋅b−a−b=11  ⟹  a(b−1)−(b−1)−1=11  ⟹  (a−1)(b−1)=12a \cdot b - a - b = 11 \implies a(b - 1) - (b - 1) - 1 = 11 \implies (a - 1)(b - 1) = 12 elde edilir.
Tam sayı çözümlerini çarpan analizine dayalı olarak bulabilmek.
4
12'nin çarpanlarını inceleyerek asal sayı çiftlerini belirleme.
Çarpanlar (1, 12), (2, 6) veya (3, 4) olabilir. Çözüm yapıldığında:
- a−1=1  ⟹  a=2a-1=1 \implies a=2 ve b−1=12  ⟹  b=13b-1=12 \implies b=13 (Asal ve birbirinden farklıdır. Kümemiz {2,3,13}\{2, 3, 13\} olur).
- a−1=2  ⟹  a=3a-1=2 \implies a=3 (c=3 ile çelişir, elenir).
- a−1=3  ⟹  a=4a-1=3 \implies a=4 (Asal değildir, elenir).
Soruda verilen 'birbirinden farklı asal sayılar' koşulunu sağlayan tek kümenin {2,3,13}\{2, 3, 13\} olduğunu göstermek.
5
İfadeyi en büyük yapacak değerleri yerine koyarak hesaplama yapma.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde en büyük çarpanı parantez dışına almak için a=13a=13 seçilir. Bu durumda 13⋅(2+3)=6513 \cdot (2 + 3) = 65 bulunur.
Çarpımın sonucunu maksimize etmek.

Key Concept

Asal sayıların bölünebilme özellikleri ve tam sayı denklemlerinin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü

Alternative Method

Denklem a⋅b⋅c−3(a+b+c)=24a \cdot b \cdot c - 3(a+b+c) = 24 olarak düzenlendikten sonra da değer analizi yapılabilir. Ancak çarpanlara ayırma yöntemi (c=3c=3 kabulü ile) en sistematik ve kesin yoldur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic