Examkin

Question

Difficulty: HardAsal Sayılar
pp, qq ve rr birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
p⋅q+r=41p \cdot q + r = 41
eşitliği veriliyor.

Buna göre, p⋅q⋅rp \cdot q \cdot r çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    310
  2. 418Answer
  3. C
    238
  4. D
    78
  5. E
    390

Answer

En büyük çarpım değeri 418418 olarak bulunur.
Verilen eşitliği sağlayan birbirinden farklı asal sayı üçlüleri arasından elde edilebilecek en büyük çarpım değeri 418418 sayısıdır. Bu değer, p=2p=2, q=11q=11 ve r=19r=19 (veya yer değiştirmiş halleri) asal sayıları için 2⋅11+19=412 \cdot 11 + 19 = 41 eşitliğinin sağlanmasıyla elde edilir ve çarpımları 2⋅11⋅19=4182 \cdot 11 \cdot 19 = 418 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen p⋅q+r=41p \cdot q + r = 41 eşitliğinde 4141 sayısı bir tek sayıdır. İki sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Buradan iki durum ortaya çıkar.
Durum 1: p⋅qp \cdot q çift ve rr tek olmalıdır. Durum 2: p⋅qp \cdot q tek ve rr çift olmalıdır.
Toplamın teklik-çiftlik kurallarını kullanarak olası durumları belirlemek.
2
Durum 1'i inceleyelim: p⋅qp \cdot q çift ise, pp ve qq asal sayılarından en az biri çift asal sayı olan 22 olmalıdır. p=2p = 2 alalım (çarpım simetrik olduğundan q=2q = 2 durumu da aynı sonuçları verir). Bu durumda denklem 2q+r=412q + r = 41 halini alır. qq asal sayısına değerler vererek r=41−2qr = 41 - 2q değerinin de asal sayı olmasını sağlayacak durumları test edelim:
- q=3  ⟹  r=35q = 3 \implies r = 35 (asal değil)
- q=5  ⟹  r=31q = 5 \implies r = 31 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅5⋅31=3102 \cdot 5 \cdot 31 = 310
- q=7  ⟹  r=27q = 7 \implies r = 27 (asal değil)
- q=11  ⟹  r=19q = 11 \implies r = 19 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅11⋅19=4182 \cdot 11 \cdot 19 = 418
- q=17  ⟹  r=7q = 17 \implies r = 7 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅17⋅7=2382 \cdot 17 \cdot 7 = 238
- q=19  ⟹  r=3q = 19 \implies r = 3 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅19⋅3=1142 \cdot 19 \cdot 3 = 114
Durum 1 için mümkün olan en büyük çarpım değeri 418418 olarak elde edilir.
Çift asal sayı özelliğinden yararlanarak olası tüm üçlüleri bulmak.
3
Durum 2'yi inceleyelim: p⋅qp \cdot q tek ve rr çift olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan r=2r = 2 olmalıdır. Bu durumda denklem p⋅q+2=41  ⟹  p⋅q=39p \cdot q + 2 = 41 \implies p \cdot q = 39 olur. Çarpımları 3939 olan asal sayı çifti 33 ve 1313 olduğundan {p,q,r}={3,13,2}\{p, q, r\} = \{3, 13, 2\} elde edilir.
Bu durum için çarpım değeri 3⋅13⋅2=783 \cdot 13 \cdot 2 = 78 olur.
Çift olan tek asal sayının 22 olması bilgisini kullanarak diğer durumu analiz etmek.
4
Elde edilen tüm çarpım değerlerini (310310, 418418, 238238, 114114, 7878) karşılaştırarak en büyüğünü belirleyelim.
En büyük değer 418418'dir.
Soru kökünde istenen maksimum değeri seçmek.

Key Concept

Asal sayıların tanımı, çift asal sayı olan 22 sayısının özel durumu ve teklik-çiftlik kurallarının birlikte uygulanması
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asal Sayılar

More questions from this topic