Examkin

Asal Sayılar

11 questions

Question 1Question →
pp, qq ve rr birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
p⋅q+r=41p \cdot q + r = 41
eşitliği veriliyor.

Buna göre, p⋅q⋅rp \cdot q \cdot r çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 418

Answer

En büyük çarpım değeri 418418 olarak bulunur.
Verilen eşitliği sağlayan birbirinden farklı asal sayı üçlüleri arasından elde edilebilecek en büyük çarpım değeri 418418 sayısıdır. Bu değer, p=2p=2, q=11q=11 ve r=19r=19 (veya yer değiştirmiş halleri) asal sayıları için 2⋅11+19=412 \cdot 11 + 19 = 41 eşitliğinin sağlanmasıyla elde edilir ve çarpımları 2⋅11⋅19=4182 \cdot 11 \cdot 19 = 418 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen p⋅q+r=41p \cdot q + r = 41 eşitliğinde 4141 sayısı bir tek sayıdır. İki sayının toplamının tek sayı olabilmesi için bu sayılardan birinin çift, diğerinin tek olması gerekir. Buradan iki durum ortaya çıkar.
Durum 1: p⋅qp \cdot q çift ve rr tek olmalıdır. Durum 2: p⋅qp \cdot q tek ve rr çift olmalıdır.
Toplamın teklik-çiftlik kurallarını kullanarak olası durumları belirlemek.
2
Durum 1'i inceleyelim: p⋅qp \cdot q çift ise, pp ve qq asal sayılarından en az biri çift asal sayı olan 22 olmalıdır. p=2p = 2 alalım (çarpım simetrik olduğundan q=2q = 2 durumu da aynı sonuçları verir). Bu durumda denklem 2q+r=412q + r = 41 halini alır. qq asal sayısına değerler vererek r=41−2qr = 41 - 2q değerinin de asal sayı olmasını sağlayacak durumları test edelim:
- q=3  ⟹  r=35q = 3 \implies r = 35 (asal değil)
- q=5  ⟹  r=31q = 5 \implies r = 31 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅5⋅31=3102 \cdot 5 \cdot 31 = 310
- q=7  ⟹  r=27q = 7 \implies r = 27 (asal değil)
- q=11  ⟹  r=19q = 11 \implies r = 19 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅11⋅19=4182 \cdot 11 \cdot 19 = 418
- q=17  ⟹  r=7q = 17 \implies r = 7 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅17⋅7=2382 \cdot 17 \cdot 7 = 238
- q=19  ⟹  r=3q = 19 \implies r = 3 (asal)   ⟹  \implies Çarpım: 2⋅19⋅3=1142 \cdot 19 \cdot 3 = 114
Durum 1 için mümkün olan en büyük çarpım değeri 418418 olarak elde edilir.
Çift asal sayı özelliğinden yararlanarak olası tüm üçlüleri bulmak.
3
Durum 2'yi inceleyelim: p⋅qp \cdot q tek ve rr çift olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan r=2r = 2 olmalıdır. Bu durumda denklem p⋅q+2=41  ⟹  p⋅q=39p \cdot q + 2 = 41 \implies p \cdot q = 39 olur. Çarpımları 3939 olan asal sayı çifti 33 ve 1313 olduğundan {p,q,r}={3,13,2}\{p, q, r\} = \{3, 13, 2\} elde edilir.
Bu durum için çarpım değeri 3⋅13⋅2=783 \cdot 13 \cdot 2 = 78 olur.
Çift olan tek asal sayının 22 olması bilgisini kullanarak diğer durumu analiz etmek.
4
Elde edilen tüm çarpım değerlerini (310310, 418418, 238238, 114114, 7878) karşılaştırarak en büyüğünü belirleyelim.
En büyük değer 418418'dir.
Soru kökünde istenen maksimum değeri seçmek.

Key Concept

Asal sayıların tanımı, çift asal sayı olan 22 sayısının özel durumu ve teklik-çiftlik kurallarının birlikte uygulanması
Estimated Time:2m 0s
Question 2Question →

aa, bb ve cc asal sayılardır.

ab+bc=17a^b + b^c = 17

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Denklemdeki taban ve üslerin asal sayı olması gerektiği ve sonucun tek sayı (1717) olduğu göz önüne alındığında, terimlerden birinin çift sayı olması gerektiği sonucuna varılır. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan, durumlar analiz edilerek (3,2,3)(3, 2, 3) ve (2,3,2)(2, 3, 2) çözümleri elde edilir. Bu çözümlerden gelen toplam değerleri 88 ve 77 olup bunların toplamı 1515 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tek-çift analizi yapmak.
İki sayının toplamı 1717 (tek sayı) olduğundan, aba^b ve bcb^c ifadelerinden biri çift, diğeri tek olmalıdır.
İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı çift sayı vereceğinden, sonucun tek olması için terimlerden birinin mutlaka çift olması gerekir.
2
Birinci durumu (b=2b=2) analiz etmek.
b=2b = 2 (çift asal sayı) olması durumunda denklem a2+2c=17a^2 + 2^c = 17 haline gelir. Burada a2<17a^2 < 17 olmalıdır. Asal sayı olan aa için denenebilecek tek değer a=3a = 3 olup buradan 32+2c=17  ⟹  9+2c=17  ⟹  2c=8  ⟹  c=33^2 + 2^c = 17 \implies 9 + 2^c = 17 \implies 2^c = 8 \implies c = 3 elde edilir. c=3c=3 asal sayı olduğu için (3,2,3)(3, 2, 3) geçerli bir çözümdür. Bu durumda toplam 3+2+3=83+2+3 = 8 olur.
Çift olan tek asal sayının 2 olmasından yola ��ıkarak birinci olası durumu çözümlemek.
3
İkinci durumu (a=2a=2) analiz etmek.
a=2a = 2 olması durumunda denklem 2b+bc=172^b + b^c = 17 haline gelir. bb bir asal sayı olmalıdır. b=2b=2 için 2c=132^c = 13 olur ve bunu sağlayan asal sayı yoktur. Dolayısıyla bb tek asal sayı olmalıdır. b=3b=3 için 23+3c=17  ⟹  8+3c=17  ⟹  3c=9  ⟹  c=22^3 + 3^c = 17 \implies 8 + 3^c = 17 \implies 3^c = 9 \implies c = 2 elde edilir. c=2c=2 asal sayı olduğu için (2,3,2)(2, 3, 2) geçerli bir çözümdür. Bu durumda toplam 2+3+2=72+3+2 = 7 olur. b≥5b \geq 5 için 2b≥32>172^b \geq 32 > 17 olduğundan başka çözüm yoktur.
Çift asal sayı olma durumunu diğer terim için de değerlendirerek tüm çözümleri eksiksiz tespit etmek.
4
Değerleri toplamak.
a+b+ca+b+c toplamının alabileceği farklı değerler 77 ve 88 olup toplamları 7+8=157 + 8 = 15 bulunur.
Elde edilen farklı toplam değerlerinin toplamını bularak soruyu sonuçlandırmak.

Key Concept

Asal sayıların özellikleri, çift olan tek asal sayının 2 olması ve tek-çift sayı analizi.
Question 3Question →
Birbirinden farklı xx, yy ve zz asal sayıları için
xy+yx=zx^y + y^x = z
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

22
Doğru cevap 22'dir. Teklik-çiftlik analizi yapıldığında, xy+yxx^y + y^x toplamının asal bir sayı (zz) belirtebilmesi için xx ve yy değişkenlerinden birinin çift asal sayı olan 2 olması gerekir. Genelliği bozmadan x=2x=2 alındığında, y=3y=3 için z=23+32=17z = 2^3 + 3^2 = 17 asal sayısı elde edilir. y>3y > 3 için yapılan mod 3 analizinde ise 2y+y22^y + y^2 ifadesinin her zaman 3'ün katı olduğu ve dolayısıyla asal olamayacağı görülür. Bu nedenle tek çözüm {2, 3, 17} olup toplamları 22'dir.

Step-by-Step Solution

1
Teke-çiftlik analizi yaparak değişkenlerin alabileceği değerleri sınırland��rın.
xx ve yy sayılarından birinin 2 olduğu belirlenir.
Eğer xx ve yy sayılarının ikisi de tek asal sayı olsaydı, tek sayıların tüm kuvvetleri tek olacağından xyx^y ve yxy^x tek sayı olurdu. Bu iki tek sayının toplamı olan zz çift sayı olmak zorunda kalırdı. 2'den büyük çift asal sayı olmadığından ve x,yx, y farklı asal sayılar olduğu için z>2z > 2 olmalıdır. Dolayısıyla xx ve yy sayılarından biri kesinlikle 2 olmalıdır.
2
Genelliği bozmadan x=2x = 2 kabul ederek en küçük tek asal sayı olan y=3y = 3 için denklemi sınayın.
z=23+32=17z = 2^3 + 3^2 = 17 elde edilir.
17 bir asal sayı olduğundan bu durum tüm koşulları sağlar. Bu durumda asal sayılar kümesi {2, 3, 17} olur.
3
Diğer tek asal sayılar (y>3y > 3) için çözüm olup olmadığını 3 modunda analiz edin.
y>3y > 3 olan tüm asal sayılar için z=2y+y2z = 2^y + y^2 ifadesinin 3 ile tam bölündüğü ve asal olamayacağı kanıtlanır.
3'ten büyük her yy asal sayısı için y≡1y \equiv 1 veya y≡2(mod3)y \equiv 2 \pmod 3 olup, y2≡1(mod3)y^2 \equiv 1 \pmod 3 olur. Ayrıca yy tek sayı olduğundan y=2k+1y = 2k+1 biçimindedir. Buradan 2y=22k+1=2⋅4k≡2⋅1k≡2(mod3)2^y = 2^{2k+1} = 2 \cdot 4^k \equiv 2 \cdot 1^k \equiv 2 \pmod 3 elde edilir. Bu iki ifadenin toplamı olan z=2y+y2≡2+1≡3≡0(mod3)z = 2^y + y^2 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3 olur. z>3z > 3 olduğundan zz asal sayı olamaz.
4
Elde edilen tek çözüm kümesindeki sayıları toplayın.
x+y+z=2+3+17=22x+y+z = 2+3+17 = 22 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini bulmak için.

Key Concept

Asal Sayılar
Question 4Question →

aa, bb ve cc birbirinden farklı asal sayılardır.

a⋅b⋅c=3(a+b+c+8)a \cdot b \cdot c = 3(a + b + c + 8)

olduğuna göre, a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 65

Answer

En büyük değer olan 65'tir. Bu değer, asal sayıların {2, 3, 13} olarak belirlenmesinden sonra en büyük çarpanın parantez dışına (13 olarak) yerleştirilmesiyle elde edilir.
Çözüm sonucunda elde edilen tek geçerli asal sayı kümesi {2, 3, 13}'tür. Bu kümedeki elemanlar ile oluşturulabilecek a * (b + c) ifadesinin en büyük değeri, en büyük asal sayı olan 13'ün parantez dışına çarpan olarak yazılmasıyla elde edilen 65'tir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki çarpımın bölen analizini yapma.
a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı 3'ün katı olmalıdır. Sayılar asal olduğundan, içlerinden biri kesinlikle 3 olmalıdır. Kolaylık açısından c=3c = 3 seçelim.
Denklemin sağ tarafında 3 çarpanı bulunduğundan, eşitliğin sağlanabilmesi için sol taraf da 3 ile tam bölünmelidir.
2
Seçilen değeri denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapma.
3⋅a⋅b=3(a+b+3+8)  ⟹  a⋅b=a+b+113 \cdot a \cdot b = 3(a + b + 3 + 8) \implies a \cdot b = a + b + 11 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını ikiye düşürerek denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
3
Denklemi çarpanlara ayırma formatına dönüştürme.
a⋅b−a−b=11  ⟹  a(b−1)−(b−1)−1=11  ⟹  (a−1)(b−1)=12a \cdot b - a - b = 11 \implies a(b - 1) - (b - 1) - 1 = 11 \implies (a - 1)(b - 1) = 12 elde edilir.
Tam sayı çözümlerini çarpan analizine dayalı olarak bulabilmek.
4
12'nin çarpanlarını inceleyerek asal sayı çiftlerini belirleme.
Çarpanlar (1, 12), (2, 6) veya (3, 4) olabilir. Çözüm yapıldığında:
- a−1=1  ⟹  a=2a-1=1 \implies a=2 ve b−1=12  ⟹  b=13b-1=12 \implies b=13 (Asal ve birbirinden farklıdır. Kümemiz {2,3,13}\{2, 3, 13\} olur).
- a−1=2  ⟹  a=3a-1=2 \implies a=3 (c=3 ile çelişir, elenir).
- a−1=3  ⟹  a=4a-1=3 \implies a=4 (Asal değildir, elenir).
Soruda verilen 'birbirinden farklı asal sayılar' koşulunu sağlayan tek kümenin {2,3,13}\{2, 3, 13\} olduğunu göstermek.
5
İfadeyi en büyük yapacak değerleri yerine koyarak hesaplama yapma.
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinde en büyük çarpanı parantez dışına almak için a=13a=13 seçilir. Bu durumda 13⋅(2+3)=6513 \cdot (2 + 3) = 65 bulunur.
Çarpımın sonucunu maksimize etmek.

Key Concept

Asal sayıların bölünebilme özellikleri ve tam sayı denklemlerinin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü

Alternative Method

Denklem a⋅b⋅c−3(a+b+c)=24a \cdot b \cdot c - 3(a+b+c) = 24 olarak düzenlendikten sonra da değer analizi yapılabilir. Ancak çarpanlara ayırma yöntemi (c=3c=3 kabulü ile) en sistematik ve kesin yoldur.
Estimated Time:3m 0s
Question 5Question →

xx, yy ve zz birbirinden farklı asal sayılardır.

x(y−z)=22x(y - z) = 22

olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

En küçük x+y+zx + y + z toplamı 19'dur.
Verilen x(y−z)=22x(y - z) = 22 eşitliğinde xx asal sayısı 22'yi tam bölmelidir. x=2x = 2 durumunda y−z=11y - z = 11 olur ve buradan z=2,y=13z = 2, y = 13 bulunur; fakat bu durumda xx ve zz birbirine eşit çıktığı için elenir. x=11x = 11 durumunda y−z=2y - z = 2 elde edilir. Birbirinden farklı en küçük asal sayıları elde etmek için y=5y = 5 ve z=3z = 3 seçilir. Bu durumda en küçük toplam x+y+z=11+5+3=19x + y + z = 11 + 5 + 3 = 19 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki çarpanları analiz etme.
x(y−z)=22x(y - z) = 22 eşitliğinde xx bir asal sayı olduğundan 22'nin asal bölenleri olan 2 veya 11 değerlerini alabilir.
Eşitliğin sol tarafındaki xx çarpanının sağ taraftaki 22'yi tam bölmesi gerekir.
2
x=2x = 2 durumunun incelenmesi.
x=2x = 2 ise y−z=11y - z = 11 olur. Farkları tek sayı olan iki asal sayıdan biri çift (yani 2) olmalıdır. Buradan z=2z = 2 ve y=13y = 13 bulunur. Ancak bu durumda x=z=2x = z = 2 olur ve sayılar birbirinden farklı olmaz.
Soruda verilen asal sayıların birbirinden farklı olması koşulu sağlanmalıdır.
3
x=11x = 11 durumunun incelenmesi.
x=11x = 11 ise y−z=2y - z = 2 olur. Farkları 2 olan ve x=11x=11 değerinden farklı en küçük asal sayılar y=5y = 5 ve z=3z = 3 olarak belirlenir.
Toplamın en küçük değerini bulmak için en küçük asal sayıları seçmemiz gerekir.
4
Seçilen değerlerin toplanması.
x+y+z=11+5+3=19x + y + z = 11 + 5 + 3 = 19 elde edilir.
Tüm koşulları sağlayan en küçük toplamı bulmak.

Key Concept

Asal sayıların tanımı, çift olan tek asal sayının 2 olması ve asal sayı denklem çözümleri.
Estimated Time:1m 30s
Question 6Question →

xx, yy ve zz asal sayılardır.

x+y+z=20x + y + z = 20
y−z=5y - z = 5

olduğuna göre, xx kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

11
İki asal sayının farkı tek sayı (5) ise bu sayılardan biri çift sayı olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan z=2z = 2 ve buna bağlı olarak y=7y = 7 olur. Bu değerler toplam denkleminde yerine yazıldığında x+7+2=20⇒x=11x + 7 + 2 = 20 \Rightarrow x = 11 elde edilir. 11 de bir asal sayı olduğundan tüm koşullar sağlanmış olur.

Step-by-Step Solution

1
y−z=5y - z = 5 denklemini inceleyelim.
İki asal sayının farkı tek bir sayı (5) ise, bu sayılardan biri çift, diğeri tek sayı olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan, küçük olan sayı z=2z = 2 olmalıdır. Buradan y=2+5=7y = 2 + 5 = 7 bulunur. 77 de bir asal sayıdır.
Farkı tek sayı olan iki tam sayıdan biri çift, diğeri tek olmak zorundadır. Asal sayılar kümesindeki tek çift sayı 2'dir.
2
Bulunan y=7y = 7 ve z=2z = 2 değerlerini x+y+z=20x + y + z = 20 denkleminde yerine yazalım.
x+7+2=20⇒x+9=20⇒x=11x + 7 + 2 = 20 \Rightarrow x + 9 = 20 \Rightarrow x = 11 elde edilir.
Birinci denklemde bilinmeyen tek değişken olan xx değerini bulmak için bilinen değerler yerine konur.
3
Elde edilen x=11x = 11 değerinin asal sayı olma koşulunu kontrol edelim.
11 bir asal sayıdır. Bu nedenle x=11x = 11 değeri tüm koşulları sağlar.
Soruda xx'in de bir asal sayı olması gerektiği belirtilmiştir.

Key Concept

Asal sayıların özellikleri ve çift olan tek asal sayının 2 olması
Question 7Question →
aa, bb ve cc asal sayılar olmak üzere,
a⋅b+a⋅c=95a \cdot b + a \cdot c = 95
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 170

Answer

En büyük değer olan 170
Verilen denklem a(b+c)=95a(b+c) = 95 şeklinde düzenlendiğinde, 95=5⋅1995 = 5 \cdot 19 olduğundan a=5a=5 veya a=19a=19 olabilir. a=5a=5 için b+c=19b+c=19 olup, toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,17}\{b, c\} = \{2, 17\} bulunur ve çarpım 5⋅2⋅17=1705 \cdot 2 \cdot 17 = 170 elde edilir. Bu değer alabilecek en büyük değerdir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
a(b+c)=95a(b + c) = 95
Çarpımın sonucunu veren çarpanları inceleyebilmek için ortak çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır.
2
95 sayısının asal çarpanlarını bulun.
95=5⋅1995 = 5 \cdot 19
aa asal sayı olduğundan, aa değeri ya 5 ya da 19 olmak zorundadır.
3
a=5a = 5 durumunu inceleyin.
b+c=19b + c = 19 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (19) olduğundan, bu sayılardan biri çift asal sayı olan 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,17}\{b, c\} = \{2, 17\} elde edilir (17 asaldır). Bu durumda çarpım a⋅b⋅c=5⋅2⋅17=170a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 2 \cdot 17 = 170 olur.
Toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri mutlaka çift sayı (yani 2) olmak zorundadır.
4
a=19a = 19 durumunu inceleyin.
b+c=5b + c = 5 olur. İki asal sayının toplamı tek sayı (5) olduğundan, biri 2 olmalıdır. Buradan {b,c}={2,3}\{b, c\} = \{2, 3\} elde edilir (3 asaldır). Bu durumda çarpım a⋅b⋅c=19⋅2⋅3=114a \cdot b \cdot c = 19 \cdot 2 \cdot 3 = 114 olur.
Benzer şekilde, toplamları tek sayı olan iki asal sayıdan biri 2 olmalıdır.
5
Bulunan çarpım değerlerini karşılaştırarak en büyüğünü belirleyin.
En büyük değer 170'tir.
170 ve 114 değerleri arasından en büyüğü seçilmesi istendiği için sonuç 170 olur.

Key Concept

Asal sayıların özellikleri ve tek-çift sayı kurallarının asal sayılara uygulanması (özellikle en küçük ve tek çift asal sayı olan 2'nin kullanımı).
Estimated Time:1m 30s
Question 8Question →

pp bir asal sayı olmak üzere, p2−1p^2 - 1 ifadesi de bir asal sayıya eşittir.

Buna göre, pp sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

2
Verilen koşulu sağlayan sayı 2'dir. p=2p = 2 yazıldığında p2−1=3p^2 - 1 = 3 olur. 3 sayısı asal olduğundan koşul sağlanır. 2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayı olduğundan, karelerinin 1 eksiği her zaman 2'den büyük çift bir sayı olacaktır. Çift sayılardan sadece 2 asal olduğu için 2 dışındaki asal sayılar bu koşulu sağlayamaz.

Step-by-Step Solution

1
pp asal sayısının alabileceği durumları incelemek
En küçük ve tek çift asal sayı 22'dir. 22'den büyük tüm asal sayılar tektir.
Asal sayıların teklik-çiftlik özellikleri çözümü daraltmaya yardımcı olur.
2
pp sayısının tek olması durumunda p2−1p^2 - 1 ifadesinin alacağı değeri analiz etmek
pp tek sayı ise p2p^2 tektir. Tek bir sayıdan 1 çıkarıldığında (p2−1p^2 - 1) sonuç çift bir sayı olur. 22'den büyük tüm çift sayılar 22 ile bölünebildiğinden asal olamaz. Dolayısıyla pp tek bir asal sayı olamaz.
Çift sayıların asallık özelliğini kullanarak tek asal sayıların elenmesini sağlamak.
3
Çift olan tek asal sayı olan p=2p = 2 değerini yerine yazarak denemek
p=2p = 2 için p2−1=22−1=3p^2 - 1 = 2^2 - 1 = 3 bulunur. 33 sayısı bir asal sayıdır. Koşul sağlanır.
Bulunan tek olası asal sayı değerinin doğruluğunu kontrol etmek.

Key Concept

Çift olan tek asal sayının 2 olması ve asal sayıların teklik-çiftlik özellikleri

Hints

1
En küçük asal sayı hangisidir ve bu sayının çift-tek olma durumuyla ilgili özel bir niteliği var mıdır?
2
2 dışındaki tüm asal sayılar tektir. Tek sayıların karesinin 1 eksiği her zaman çift bir sayı üretir. Bu durum asallık kuralını nasıl etkiler?
Estimated Time:45s
Question 9Question →

xx, yy ve zz asal sayılardır.

x2−y2=zx^2 - y^2 = z

olduğuna göre, x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

11
Doğru cevap olan 11 değerine ulaşmak için iki kare farkı yardımıyla x−y=1x - y = 1 ve x+y=zx + y = z denklemleri elde edilir. Farkları 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2 olduğundan x=3x=3 ve y=2y=2 bulunur. Buradan z=5z=5 elde edilir. Sonuç olarak 3⋅2+5=113 \cdot 2 + 5 = 11 hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−y2=zx^2 - y^2 = z denklemini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(x−y)(x+y)=z(x - y)(x + y) = z elde edilir.
İki kare farkı formülü a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) şeklindedir.
2
zz bir asal sayı olduğundan çarpanları sadece 1 ve kendisi olabilir. xx ve yy asal sayılar (pozitif) olduğu için x+y>1x + y > 1 olmalıdır. Bu durumda çarpanlardan küçük olanı 1'e, büyük olanı zz'ye eşitleyin.
x−y=1x - y = 1 ve x+y=zx + y = z olur.
Asal sayıların kendisinden ve 1'den başka pozitif böleni yoktur.
3
x−y=1x - y = 1 eşitliğini sağlayan ve aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çiftini belirleyin. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2 olduğundan, farkları 1 olan yegane asal sayılar 3 ve 2'dir.
x=3x = 3 ve y=2y = 2 bulunur.
Farkı 1 olan tek ardışık asal sayılar 2 ve 3'tür.
4
Bulduğumuz x=3x = 3 ve y=2y = 2 değerlerini x+y=zx + y = z eşitliğinde yerine yazarak zz asal sayısını bulun.
z=3+2=5z = 3 + 2 = 5 elde edilir.
Değerlerin toplamı üçüncü asal sayıyı verir.
5
Bulunan x=3x = 3, y=2y = 2 ve z=5z = 5 değerlerini kullanarak x⋅y+zx \cdot y + z ifadesini hesaplayın.
3⋅2+5=6+5=113 \cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11 bulunur.
İşlem önceliğine göre önce çarpma, ardından toplama işlemi yapılır.

Key Concept

İki kare farkı özdeşliği yardımıyla asal sayıların çarpan analizi ve tek çift asal sayı özellikleri.
Question 10Question →
xx, yy ve zz asal sayılardır.
xz−y=29x^z - y = 29
olduğuna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Eşitliği sağlayan asal sayıların toplamı 10'dur.
Verilen eşitliği sağlayan asal sayılar x=2x=2, y=3y=3 ve z=5z=5'tir. Bu değerlerin toplamı 2+3+5=102 + 3 + 5 = 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
xz−y=29x^z - y = 29 eşitliğinde xx tabanının tek veya çift olma durumlarını incelemek.
Eğer xx tek bir asal sayı olsaydı, tek sayının tüm pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağı için xzx^z de tek olurdu. Farkın tek bir sayı (2929) çıkabilmesi için yy asal sayısının çift olması gerekirdi. Çift olan tek asal sayı 22 olduğundan y=2y=2 olurdu. Bu durumda xz−2=29  ⟹  xz=31x^z - 2 = 29 \implies x^z = 31 elde edilirdi. Ancak z≥2z \ge 2 asal sayısı için bu eşitliği sağlayan bir xx asal sayısı yoktur. Dolayısıyla xx çift bir asal sayı olmalıdır.
xx'in tek sayı olamayacağını göstererek çift olan tek asal sayıya (22) eşitlemek.
2
xx yerine en küçük ve tek çift asal sayı olan 22 değerini yazarak eşitliği düzenlemek.
2z−y=292^z - y = 29 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak zz ve yy asal sayılarını belirlemek.
3
zz asal sayısı için olası değerleri denemek.
z=2z = 2 için: 22−y=29  ⟹  y=−252^2 - y = 29 \implies y = -25 (Negatif sayılar asal olamaz).
z=3z = 3 için: 23−y=29  ⟹  y=−212^3 - y = 29 \implies y = -21 (Negatif sayılar asal olamaz).
z=5z = 5 için: 25−y=29  ⟹  32−y=29  ⟹  y=32^5 - y = 29 \implies 32 - y = 29 \implies y = 3 (33 bir asal sayıdır).
z>5z > 5 olan tek asal sayılar için 2z−292^z - 29 ifadesi daima 33'ün katı ve 33'ten büyük olacağından asal sayı olamaz. Dolayısıyla tek çözüm x=2x=2, y=3y=3 ve z=5z=5 asal sayılarıdır.
Tanım kümesine uygun asal sayı değerlerini kesinleştirmek.
4
Bulunan asal sayıları toplamak.
x+y+z=2+3+5=10x + y + z = 2 + 3 + 5 = 10 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Asal Sayıların Özellikleri ve Çift Asal Sayı
Question 11Question →
xx, yy ve zz asal sayılardır.
x⋅y−z=31x \cdot y - z = 31
x+y+z=16x + y + z = 16
olduğuna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

66
Verilen toplamın çift sayı olması, asal sayılardan birinin kesinlikle çift asal sayı olan 2 olmasını gerektirir. z = 2 kabul edildiğinde x * y = 33 elde edilir ve buradan {3, 11} asal sayılarına ulaşılır. Bu sayılar toplam koşulunu da sağladığından çarpımları 2 * 3 * 11 = 66 olur.

Step-by-Step Solution

1
Toplam denkleminden hareketle tek-çift analizi yapmak
Değişkenlerden en az biri 2 olmalıdır.
x + y + z = 16 toplamı çift bir sayıdır. 2 hariç tüm asal sayılar tek sayı olduğundan, üç tek sayının toplamı tek sayı olmalıdır. Toplamın çift olması için asal sayılardan en az birinin ��ift (yani 2) olması gerekir.
2
z = 2 durumunu incelemek
x * y = 33 elde edilir. Buradan x = 3 ve y = 11 (veya tersi) bulunur. Toplamları 3 + 11 + 2 = 16 koşulunu sağlar.
z = 2 ise ilk denklem x * y - 2 = 31 => x * y = 33 olur. 33 sayısının asal çarpanları sadece 3 ve 11'dir.
3
x = 2 durumunu incelemek
2y - z = 31 ve y + z = 14 denklem sistemi elde edilir. Buradan y = 15 bulunur ki bu bir asal sayı değildir.
x = 2 ise ikinci denklemden z = 14 - y olur. İlk denklemde yerine yazıldığında 2y - (14 - y) = 31 => 3y = 45 => y = 15 olur. 15 asal sayı olmadığından bu durumdan çözüm gelmez. y = 2 durumu da simetriktir.
4
Bulunan geçerli köklerin çarpımını hesaplamak
x * y * z = 2 * 3 * 11 = 66 bulunur.
Geçerli tek çözüm kümesi {2, 3, 11} asal sayılarıdır.

Key Concept

Asal sayıların tek-çiftlik özellikleri ve en küçük çift asal sayı olan 2'nin kullanımı