Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Bir xx pozitif tam sayısından başlayıp 3'er 3'er artan ardışık 2020 tam sayının toplamı AA, bir yy pozitif tam sayısından başlayıp 4'er 4'er artan ardışık 1515 tam sayının toplamı BB'dir.

A=BA = B ve x+y=52x + y = 52 olduğuna göre, xx kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    16
  3. 18Answer
  4. D
    34
  5. E
    42

Answer

Doğru cevap 18'dir.
İlk dizinin terimleri toplamı A=20x+570A = 20x + 570 ve ikinci dizinin terimleri toplamı B=15y+420B = 15y + 420 olarak ifade edilir. A=BA = B eşitliğinden 4x−3y=−304x - 3y = -30 elde edilir. x+y=52x + y = 52 denkleminden y=52−xy = 52 - x yazılarak birinci denklemde yerine konduğunda 7x=1267x = 126 ve buradan x=18x = 18 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci dizinin terimleri toplamı olan AA ifadesini xx cinsinden yazalım.
A=20x+570A = 20x + 570
xx ile başlayan, 3'er 3'er artan 20 terimli dizinin son terimi x+19×3=x+57x + 19 \times 3 = x + 57 olur. Terimler toplamı formülüyle A=x+(x+57)2×20=(2x+57)×10=20x+570A = \frac{x + (x + 57)}{2} \times 20 = (2x + 57) \times 10 = 20x + 570 elde edilir.
2
İkinci dizinin terimleri toplamı olan BB ifadesini yy cinsinden yazalım.
B=15y+420B = 15y + 420
yy ile başlayan, 4'er 4'er artan 15 terimli dizinin son terimi y+14×4=y+56y + 14 \times 4 = y + 56 olur. Terimler toplamı formülüyle B=y+(y+56)2×15=2y+562×15=(y+28)×15=15y+420B = \frac{y + (y + 56)}{2} \times 15 = \frac{2y + 56}{2} \times 15 = (y + 28) \times 15 = 15y + 420 elde edilir.
3
A=BA = B eşitliğini kullanarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulalım.
4x−3y=−304x - 3y = -30
20x+570=15y+420  ⟹  20x−15y=−15020x + 570 = 15y + 420 \implies 20x - 15y = -150 olur. Eşitliğin her iki tarafını 5 ile böldüğümüzde 4x−3y=−304x - 3y = -30 denklemine ulaşırız.
4
x+y=52x + y = 52 denklemini kullanarak yy yerine 52−x52 - x yazalım ve xx değerini bulalım.
x=18x = 18
4x−3(52−x)=−30  ⟹  4x−156+3x=−30  ⟹  7x=126  ⟹  x=184x - 3(52 - x) = -30 \implies 4x - 156 + 3x = -30 \implies 7x = 126 \implies x = 18 bulunur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin doğrusal denklem sistemleri ile birlikte uygulanması.

Hints

1
Her iki ardışık sayı dizisinin ilk ve son terimlerini belirleyerek terimler toplamı formülünü uygulayın.
2
Dizilerin toplamları olan AA ve BB ifadelerini xx ve yy cinsinden bulduktan sonra bunları birbirine eşitleyip xx ile yy arasında birinci dereceden bir denklem elde edin.
3
Elde ettiğiniz 4x−3y=−304x - 3y = -30 denklemi ile soruda verilen x+y=52x + y = 52 denklemini ortak çözerek xx değerini çekin.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan fakat artış miktarları farklı olan üç dizinin toplam eşitliği sorusunu çözerek denklem kurma becerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ardışık sayı dizilerinin toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına eşittir. İlk dizinin ortanca terimi x+(x+57)2=x+28,5\frac{x + (x+57)}{2} = x + 28,5 ve terim sayısı 20 olduğundan A=20(x+28,5)=20x+570A = 20(x + 28,5) = 20x + 570 olur. İkinci dizinin ortanca terimi y+(y+56)2=y+28\frac{y + (y+56)}{2} = y + 28 ve terim sayısı 15 olduğundan B=15(y+28)=15y+420B = 15(y + 28) = 15y + 420 olur. Buradan A=BA = B eşitliği kurulabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic