Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Ardışık 30 tek tam sayıdan oluşan bir kümenin elemanları küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu kümenin ilk nn elemanının toplamı AA, geriye kalan elemanlarının toplamı ise BB olarak hesaplanıyor. B−A=800B - A = 800 ve bu kümedeki en küçük eleman 11 olduğuna göre, nn kaçtır?

  1. A
    8
  2. 10Answer
  3. C
    15
  4. D
    16
  5. E
    20

Answer

İlk n elemanın sayısını veren değer 10'dur.
Ardışık 30 tek sayının toplamı olan 1200 değeri ile verilen B - A = 800 denklemi birlikte çözüldüğünde ilk n terimin toplamı A = 200 olarak bulunur. İlk terimi 11 ve ortak farkı 2 olan n terimin toplam formülü n(n+10) = 200 şeklinde kurulur. Bu denklemin pozitif kökü n = 10 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Kümenin tüm elemanlarının toplamını bulmak için ilk terim, son terim ve terim sayısı belirlenir.
İlk terim 11, terim sayısı 30'dur. Ardışık tek sayılar ikişer ikişer arttığından son terim 11+29×2=6911 + 29 \times 2 = 69 olur.
Ardışık sayıların toplamını bulabilmek için sınır değerleri ve terim sayısı gereklidir.
2
Kümenin tüm elemanlarının toplamı (T) hesaplanır.
T=30×11+692=1200T = 30 \times \frac{11 + 69}{2} = 1200
Ardışık sayıların toplam formülü uygulanarak toplam değer bulunur.
3
A + B = 1200 ve B - A = 800 denklemlerinden ilk n terimin toplamı olan A değeri çözülür.
İki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 2A=400⇒A=2002A = 400 \Rightarrow A = 200 bulunur.
İlk n terimin toplamının kaç olduğunu belirlemek için bu sistem çözülmelidir.
4
İlk terimi 11 ve ortak farkı 2 olan n terimin toplam formülü kurulur ve çözülür.
A=n×11+2×n(n−1)2=n2+10nA = n \times 11 + 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n^2 + 10n elde edilir. Buradan n2+10n=200⇒n2+10n−200=0n^2 + 10n = 200 \Rightarrow n^2 + 10n - 200 = 0 denkleminden (n+20)(n−10)=0(n+20)(n-10)=0 ve n=10n=10 bulunur.
Toplamı veren cebirsel ifadeyi n değerine eşitleyerek terim sayısını bulmak amaçlanır.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı Toplam Formülleri

Hints

1
Kümenin tüm elemanlarının toplamını bulmak için terim sayısı ve ortalama terim değerini kullanın.
2
Tüm elemanların toplamı A + B olduğuna göre, B - A = 800 bilgisiyle A değerini elde edin.
3
İlk terimi 11 ve ortak farkı 2 olan n terimin toplamını 200'e eşitleyerek n(n+10) = 200 denklemini çözün.

Practice More

Benzer mantıkla çalışan fakat ardışık çift sayılar içeren ve en büyük elemanı verilen bir başka terim sayısı problemi çözülebilir.

Alternative Method

Ardışık tek sayılarda ilk n terimin toplamını bulurken, sayıları 1'den başlatıp terim ekleyip çıkarma yöntemi de kullanılabilir. 1'den 11'e kadar olan tek sayılar (1, 3, 5, 7, 9) eklenip çıkarılarak toplam ifadesi sadeleştirilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic