Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

6'şar 6'şar artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisinin ilk terimi 10, son terimi ise xx'tir. Bu dizinin terim sayısı x8+3\frac{x}{8} + 3 olduğuna göre, bu dizideki tüm sayıların toplamı kaçtır?

Answer: 686

Answer

Dizideki tüm sayıların toplamı 686'dır.
Ardışık sayılarda terim sayısı formülü uygulandığında, ilk terimi 10, son terimi xx ve artış miktarı 6 olan dizinin terim sayısı x−106+1\frac{x - 10}{6} + 1 olur. Bu ifadeyi paydaları eşitleyerek düzenlediğimizde x−46\frac{x - 4}{6} elde ederiz. Soruda verilen terim sayısı ifadesi olan x8+3\frac{x}{8} + 3 (yani x+248\frac{x + 24}{8}) ile bu ifadeyi birbirine eşitlediğimizde 8(x−4)=6(x+24)8(x - 4) = 6(x + 24) denklemini elde ederiz. Sadeleştirmeler yapıldığında 4x−16=3x+72⇒x=884x - 16 = 3x + 72 \Rightarrow x = 88 bulunur. Buradan terim sayısı 1414 olarak hesaplanır. Dizideki sayıların toplamı ise terim sayısı ile ortalama terimin çarpımı olan 14×10+882=68614 \times \frac{10 + 88}{2} = 686 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Terim sayısı formülünü yazarak dizinin terim sayısını xx cinsinden ifade edelim.
Terim Sayısı = x−106+1=x−46\frac{x - 10}{6} + 1 = \frac{x - 4}{6}
Ardışık sayılarda terim sayısı formülü: Terim Sayısı=Son Terim−I˙lk TerimArtıs¸ Miktarı+1\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1 şeklindedir.
2
Elde ettiğimiz terim sayısı ifadesini soruda verilen x8+3\frac{x}{8} + 3 ifadesine eşitleyip xx bilinmeyenini çözelim.
x=88x = 88
x−46=x+248⇒8(x−4)=6(x+24)⇒4(x−4)=3(x+24)⇒4x−16=3x+72⇒x=88\frac{x - 4}{6} = \frac{x + 24}{8} \Rightarrow 8(x - 4) = 6(x + 24) \Rightarrow 4(x - 4) = 3(x + 24) \Rightarrow 4x - 16 = 3x + 72 \Rightarrow x = 88 elde edilir.
3
x=88x = 88 değerini kullanarak dizinin terim sayısını hesaplayalım.
Terim Sayısı = 14
Terim Sayısı=888+3=11+3=14\text{Terim Sayısı} = \frac{88}{8} + 3 = 11 + 3 = 14 veya 88−106+1=14\frac{88 - 10}{6} + 1 = 14 bulunur.
4
Terim sayısı, ilk terim ve son terimi kullanarak dizideki sayıların toplamını bulalım.
Toplam = 686
Ardışık sayıların toplamı formülü: Toplam=Terim Sayısı×I˙lk Terim+Son Terim2=14×10+882=14×49=686\text{Toplam} = \text{Terim Sayısı} \times \frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2} = 14 \times \frac{10 + 88}{2} = 14 \times 49 = 686 olur.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin cebirsel denklemlerle ilişkilendirilmesi.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic