Examkin

Question

Difficulty: HardArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Terimleri 3'er 3'er artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin terim sayısı çifttir. Bu dizinin ilk yarısındaki terimlerin toplamı AA, ikinci yarısındaki terimlerin toplamı BB'dir.

B−A=108B - A = 108

Bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamı 119119 olduğuna göre, dizinin en küçük terimi kaçtır?

Answer: 43

Answer

Dizinin en küçük terimi 43'tür.
Dizinin ilk yarısındaki terimler ile ikinci yarısındaki karşılık gelen terimlerin birebir farklarının toplamı 3n23n^2 formülünü verir. Buradan 3n2=108  ⟹  n=63n^2 = 108 \implies n = 6 bulunur ve toplam terim sayısı 1212'dir. En küçük terim a1a_1, en büyük terim ise a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olup, toplamları 2a1+33=119  ⟹  a1=432a_1 + 33 = 119 \implies a_1 = 43 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin terim sayısını 2n2n olarak tanımlayıp iki yarıya ayırmak.
İlk yarı a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n ve ikinci yarı an+1,an+2,…,a2na_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n} şeklinde nn elemanlı iki gruba ayrılır.
Terim sayısının çift olduğu belirtildiği için iki eşit gruba ayırarak toplam farkını analiz etmek gerekir.
2
Terimler arasındaki fark ilişkisinden yararlanarak grup toplamları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.
Her ii için an+i−ai=3na_{n+i} - a_i = 3n olup, toplam farkı B−A=3n2B - A = 3n^2 olarak elde edilir.
Ardışık terimlerin artış miktarı 3 olduğundan, ikinci yarıdaki her terim ilk yarıdaki simetriğinden tam olarak nn terim sonrasıdır ve aradaki fark 3n3n'dir.
3
3n2=1083n^2 = 108 denklemini çözerek terim sayısını bulmak.
n = 6, toplam terim sayısı 2n=122n = 12 olarak bulunur.
Dizinin en büyük terimine ulaşmak için toplam terim sayısının bulunması şarttır.
4
En büyük terimi en küçük terim cinsinden ifade etmek.
a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olur.
12 terimli ve artış miktarı 3 olan bir dizide son terim ile ilk terim arasında 11 adet artış adımı (11×3=3311 \times 3 = 33) vardır.
5
Verilen toplam değerini kullanarak en küçük terimi hesaplamak.
a1+(a1+33)=119  ⟹  2a1=86  ⟹  a1=43a_1 + (a_1 + 33) = 119 \implies 2a_1 = 86 \implies a_1 = 43 bulunur.
En büyük ve en küçük terimlerin toplamı 119 olarak verilmiştir.

Key Concept

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic