Examkin

Question

Difficulty: Very hardArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin terim sayısı çifttir. Bu kümenin en küçük elemanı, terim sayısının yarısına eşittir.

Bu kümedeki çift sayıların toplamı 242242 olduğuna göre, kümenin terim sayısı kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    18
  3. 22Answer
  4. D
    24
  5. E
    30

Answer

Kümenin terim sayısı 22'dir.
Kümedeki terim sayısını 2k olarak belirlediğimizde, en küçük eleman k olur ve elemanlar k'dan başlayıp 3k-1'e kadar gider. k parametresinin tek sayı olması durumunda çift terimler k+1 ile 3k-1 arasında yer alır ve toplamları 2k^2 formülüyle hesaplanır. Bu toplam 242'ye eşitlendiğinde k = 11 elde edilir. 11 tek sayı olduğu için bu durum doğrulanır. Buradan terim sayısı 2k = 22 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Terim sayısının ve en küçük elemanın cebirsel olarak tanımlanması
Terim sayısı 2k2k (k≥1k \ge 1, k∈Zk \in \mathbb{Z}), en küçük eleman ise kk olur.
Kümenin terim sayısı çift olarak verildiği için 2k2k seçilmiştir. En küçük eleman terim sayısının yarısı olduğundan 2k/2=k2k / 2 = k şeklinde ifade edilir.
2
Kümenin elemanlarının ve sınırlarının belirlenmesi
Kümenin elemanları: k,k+1,k+2,…,3k−1k, k+1, k+2, \dots, 3k-1 şeklindedir.
En küçük elemanı kk olan ve 2k2k tane ardışık tam sayıdan oluşan kümenin son terimi k+(2k−1)=3k−1k + (2k - 1) = 3k - 1 olur.
3
Kümedeki çift sayıların toplamının kk'nın çift olma durumuna göre incelenmesi (Durum 1)
2k2−k−242=02k^2 - k - 242 = 0 denkleminin tam sayı çözümü yoktur.
Eğer kk çift ise, ilk terim kk çift, son terim 3k−13k-1 tek olur. Çift sayılar k,k+2,…,3k−2k, k+2, \dots, 3k-2 olup toplamları k×4k−22=k(2k−1)k \times \frac{4k-2}{2} = k(2k-1) olur. k(2k−1)=242  ⟹  2k2−k−242=0k(2k-1) = 242 \implies 2k^2 - k - 242 = 0 denkleminin diskriminantı tam kare olmadığından çözüm gelmez.
4
Kümedeki çift sayıların toplamının kk'nın tek olma durumuna göre incelenmesi (Durum 2) ve kk değerinin bulunması
k=11k = 11 bulunur.
Eğer kk tek ise, ilk terim kk tek olduğundan ilk çift sayı k+1k+1 olur. Son terim 3k−13k-1 çift olur. Çift sayılar k+1,k+3,…,3k−1k+1, k+3, \dots, 3k-1 olup toplamları k×4k2=2k2k \times \frac{4k}{2} = 2k^2 olur. 2k2=242  ⟹  k2=121  ⟹  k=112k^2 = 242 \implies k^2 = 121 \implies k = 11 (11 tek sayı olduğundan kabul edilir) bulunur.
5
Toplam terim sayısının hesaplanması
Terim sayısı 2k=2×11=222k = 2 \times 11 = 22 olarak elde edilir.
Kümenin terim sayısı en başta 2k2k olarak tanımlandığı için k=11k = 11 değeri 2 ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Ardışık terimlerin toplamı, terim sayısı hesaplama ve pariteye (teklik-çiftlik) bağlı sınır analizi yapma.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

More questions from this topic