Sayı Problemleri

72 questions

Question 41Question

Bir kişi bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer çıkıp, üçer üçer inmiştir. Bu kişinin çıkarken attığı adım sayısı, inerken attığı adım sayısından 66 fazla olduğuna göre, merdiven kaç basamaklıdır?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Merdivenin basamak sayısı 36'dır.
İnerken atılan adım sayısı xx olarak alındığında çıkarken atılan adım sayısı x+6x + 6 olur. Toplam basamak sayısı her iki durumda da değişmeyeceği için 3x=2(x+6)3x = 2(x+6) eşitliği kurulur. Bu denklem çözüldüğünde x=12x = 12 elde edilir ve toplam basamak sayısı 3×12=363 \times 12 = 36 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Değişken tanımlaması yapılması.
İnerken atılan adım sayısı xx olsun. Çıkarken atılan adım sayısı, inerken atılan adım sayısından 66 fazla olduğu için x+6x + 6 olur.
Sözel olarak verilen adım ilişkisini matematiksel sembollerle ifade etmek için.
2
Merdivenin basamak sayısını eşitleyen denklemin kurulması.
Merdivenin toplam basamak sayısı, adım sayısı ile basamakların çıkılma/inilme şeklinin çarpımına eşittir. Buradan ikişerli çıkış için 2(x+6)2(x+6) ve üçerli iniş için 3x3x ifadeleri birbirine eşitlenir: 3x=2(x+6)3x = 2(x+6).
Çıkarken ve inerken kat edilen merdivenin toplam basamak sayısı aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek bilinmeyeni bulmak için.
3
Denklemin çözülmesi ve xx değerinin bulunması.
3x=2x+12    3x2x=12    x=123x = 2x + 12 \implies 3x - 2x = 12 \implies x = 12 bulunur.
İnerken atılan adım sayısını belirlemek için.
4
Toplam basamak sayısının hesaplanması.
Toplam basamak sayısı = 3x=3×12=363x = 3 \times 12 = 36 olarak hesaplanır.
Soruda bizden istenen toplam merdiven basamak sayısını bulmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde adım ve basamak sayısı arasındaki doğrusal ilişkinin kurulması ve denkleştirilmesi.

Alternative Method

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilebilir. Örneğin, merdiven basamak sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmelidir (yani 6'nın katı olmalıdır). Şıklar incelendiğinde hepsi 6'nın katıdır. Doğru olduğu varsayılan 36 basamak için denersek: çıkarken 36/2=1836 / 2 = 18 adım, inerken 36/3=1236 / 3 = 12 adım atılır. Adım sayıları farkı 1812=618 - 12 = 6 olur. Bu durum soruda verilen şartı doğrudan sağladığı için doğru cevap 36'dır.
Estimated Time:1m 0s
Question 42Question

Bir kargo firması, gönderilen paketlerin ağırlıklarına göre taşıma ücretini şu şekilde belirlemektedir:

* Ağırlığı 5 kg5\text{ kg} ve altında olan her bir paket için sabit 30 TL30\text{ TL} ücret alınmaktadır.
* Ağırlığı 5 kg5\text{ kg}'ın üzerinde olan her bir paket için ise 30 TL30\text{ TL} sabit ücrete ek olarak, 5 kg5\text{ kg}'ı aşan her bir kg\text{kg} için 4 TL4\text{ TL} ek ücret alınmaktadır.

Bu kargo firmasıyla toplam 1212 adet paket gönderen bir müşteri, toplam 456 TL456\text{ TL} ödemiştir.

Müşterinin 5 kg5\text{ kg}'ın üzerinde olan tüm paketlerinin her birinin ağırlığı 8 kg8\text{ kg} olduğuna göre, bu müşterinin gönderdiği paketlerden kaç tanesinin ağırlığı 5 kg5\text{ kg} ve altındadır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

4
5 kg ve altındaki paketlerin tanesi 30 TL30\text{ TL}'dir. 8 kg'lık bir paketin fiyatı 30+(85)×4=42 TL30 + (8 - 5) \times 4 = 42\text{ TL}'dir. xx adet 30 TL30\text{ TL}'lik ve 12x12 - x adet 42 TL42\text{ TL}'lik paket gönderildiğinde toplam ücret 30x+42(12x)=456 TL30x + 42(12 - x) = 456\text{ TL} olur. Buradan 30x+50442x=45612x=48x=430x + 504 - 42x = 456 \Rightarrow 12x = 48 \Rightarrow x = 4 bulunur. Bu nedenle 4 adet paket 5 kg ve altındadır.

Step-by-Step Solution

1
5 kg'ın üzerindeki her bir paketin (8 kg) taşıma ücretini hesaplayalım.
8 kg ağırlığındaki bir paketin ücreti: 30+(85)×4=30+3×4=42 TL30 + (8 - 5) \times 4 = 30 + 3 \times 4 = 42\text{ TL} olur.
5 kg'ı aşan kısım için ek ücreti belirlemek amacıyla.
2
5 kg ve altındaki paketlerin sayısına xx, 8 kg ağırlığındaki paketlerin sayısına yy diyerek denklem sistemini kuralım.
Paket sayısı denklemi: x+y=12x + y = 12
Toplam ücret denklemi: 30x+42y=45630x + 42y = 456
Soru metnindeki toplam paket ve toplam ücret bilgilerini matematiksel olarak ifade etmek amacıyla.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemi ile çözelim.
x+y=12x=12yx + y = 12 \Rightarrow x = 12 - y ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım:
30(12y)+42y=45630(12 - y) + 42y = 456
36030y+42y=456360 - 30y + 42y = 456
360+12y=456360 + 12y = 456
12y=96y=812y = 96 \Rightarrow y = 8

Buradan x=128=4x = 12 - 8 = 4 bulunur.
İstenen paket sayısını (5 kg ve altındakiler) bulmak amacıyla.

Key Concept

Sayı Problemleri

Hints

1
Öncelikle 8 kg ağırlığındaki bir paketin taşıma maliyetini hesaplayın.
2
5 kg ve altındaki paketlerin sayısına xx derseniz, 8 kg ağırlığındaki paketlerin sayısı 12x12 - x olur. Bu iki grubun toplam ücretini 456 TL456\text{ TL}'ye eşitleyin.

Practice More

Benzer şekilde, iki farklı tarifenin uygulandığı elektrik veya su faturası hesabı problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Toplam 12 paketin tamamının 5 kg ve altında olduğunu varsayalım. Bu durumda toplam ücret 12×30=360 TL12 \times 30 = 360\text{ TL} olurdu. Gerçek ücret ile bu ücret arasındaki fark 456360=96 TL456 - 360 = 96\text{ TL}'dir. Her bir 8 kg'lık paket için fazladan ödenen miktar 4230=12 TL42 - 30 = 12\text{ TL} olduğuna göre, 8 kg'lık paket sayısı 96÷12=896 \div 12 = 8 tanedir. Buradan 5 kg ve altındaki paket sayısı 128=412 - 8 = 4 olarak bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 43Question

Bir kırtasiyede A, B ve C marka üç farklı kalem satılmaktadır. Bu kalemlerin birer adetlerinin fiyatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bir adet B marka kalemin fiyatı, A marka kalemin fiyatının 22 katıdır.
* Bir adet C marka kalemin fiyatı, B marka kalemin fiyatından 5 TL5\text{ TL} fazladır.
* Kalemlerin her birinin birim fiyatı TL\text{TL} cinsinden birer tam sayıdır.

Bu kırtasiyeden bu üç kalemden de en az birer tane alan bir müşteri, toplam 1414 adet kalem satın almış ve 260 TL260\text{ TL} ödemiştir.

Müşterinin aldığı A marka kalemlerin sayısı C marka kalemlerin sayısına eşit olduğuna göre, B marka kalemlerden kaç tane satın almıştır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

B marka kalemlerden 6 adet satın alınmıştır.
Doğru cevap, B marka kalemlerden 6 adet satın alındığını belirten seçenektir. Fiyatların tam sayı olması ve her kalem türünden en az birer tane alınması koşulu altında kurulan maliyet denkleminin tek çözümü a=4a=4 ve x=10x=10'dur. Toplam kalem sayısı 14 olduğundan B marka kalemlerin sayısı 1424=614 - 2 \cdot 4 = 6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kalemlerin birim fiyatlarını ve adetlerini değişkenler kullanarak tanımlamak.
A marka kalemin fiyatı xx olsun. Bu durumda B'nin fiyatı 2x2x ve C'nin fiyatı 2x+52x+5 olur. A ve C marka kalemlerin adetleri eşit olup aa tane ise, B marka kalemlerin sayısı bb olsun.
Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için başlangıç değişkenlerini belirlemek gerekir.
2
Toplam kalem sayısı ilişkisinden yararlanarak bb değerini aa cinsinden yazmak.
Toplam kalem sayısı a+b+a=14    2a+b=14    b=142aa + b + a = 14 \implies 2a + b = 14 \implies b = 14 - 2a olarak bulunur.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir fiyat denklemi kurabilmek için bu dönüşüm gereklidir.
3
Toplam ödenen tutar (260 TL) bilgisini kullanarak fiyat ve adet denklemini kurmak.
ax+(142a)2x+a(2x+5)=260    ax+28x4ax+2ax+5a=260    x(28a)+5a=260a \cdot x + (14 - 2a) \cdot 2x + a \cdot (2x + 5) = 260 \implies ax + 28x - 4ax + 2ax + 5a = 260 \implies x(28 - a) + 5a = 260 elde edilir.
Birim fiyatlar ile adetlerin çarpımlarının toplamı toplam maliyete eşit olmalıdır.
4
Elde edilen denklemde xx değişkenini yalnız bırakarak tam sayı çözümlerini araştırmak.
x(28a)=2605a    x=2605a28a    x=5+12028ax(28 - a) = 260 - 5a \implies x = \frac{260 - 5a}{28 - a} \implies x = 5 + \frac{120}{28 - a} ifadesi elde edilir.
Birim fiyatların tam sayı olması kısıtı kullanılarak olası değerler kümesi daraltılır.
5
Kalem adetlerinin pozitif tam sayı olması kısıtını kullanarak tek geçerli çözümü bulmak.
Her kalemden en az bir tane alındığı için a1a \ge 1 ve b=142a1    a6b = 14 - 2a \ge 1 \implies a \le 6 olmalıdır. Dolayısıyla 28a28 - a ifadesi 2222 ile 2727 arasında değerler alabilir. Bu aralıkta 120120 sayısını bölen tek sayı 2424'tür. 28a=24    a=428 - a = 24 \implies a = 4 bulunur. Buradan b=142(4)=6b = 14 - 2(4) = 6 elde edilir.
Sınırlar dahilindeki tam sayı bölünebilirlik kuralı bizi tekil ve kesin çözüme ulaştırır.

Key Concept

Tam sayı kısıtlı diophantine denklemleri içeren sayı problemleri.

Hints

1
Kalemlerin birim fiyatlarını A'nın fiyatı xx olacak şekilde xx, 2x2x ve 2x+52x+5 olarak belirleyin.
2
A ve C kalemlerinin sayısına aa derseniz, B kalemlerinin sayısı 142a14-2a olur. Toplam tutar denklemini kurup sadeleştirin.
3
x(28a)+5a=260x(28-a) + 5a = 260 denkleminde fiyatların tam sayı olduğunu unutmayın. xx'i çekip bölünebilirlik kuralını uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde tam sayı kısıtları içeren ve bir değişkenin değer aralığından yararlanılarak çözülen diğer sayı ve denklem kurma problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Seçeneklerden giderek de çözüm yapılabilir. B kalemlerinin sayısı çift olmak zorundadır çünkü 2a+b=14    b=142a2a + b = 14 \implies b = 14 - 2a eşitliğinde 2a2a ve 1414 çift olduğundan bb de çift olmalıdır. Bu durumda tek ihtimaller 4, 6, 8 veya 10'dur. Bu değerler yerine koyularak tam sayı fiyat veren tek seçeneğin 6 olduğu görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 44Question

Bir çocuk kumbarasına her gün ya 5 TL5\text{ TL} ya da 10 TL10\text{ TL} değerinde birer adet madenî para atmaktadır. Bu çocuk 1515 gün boyunca kumbarasına her gün sadece bir madenî para atmış ve bu süre sonunda kumbarasında toplam 110 TL110\text{ TL} birikmiştir.

Buna göre, bu çocuğun kumbarasına 10 TL10\text{ TL} attığı gün sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Kumbaraya 10 TL10\text{ TL} atılan gün sayısı 77'dir.
10 TL10\text{ TL} atılan gün sayısı xx olarak seçilirse, 5 TL5\text{ TL} atılan gün sayısı 15x15 - x olur. Toplam para miktarı 10x+5(15x)=11010x + 5(15 - x) = 110 şeklinde ifade edilir. Bu denklem çözüldüğünde 5x+75=1105x + 75 = 110 ve buradan 5x=355x = 35 elde edilir, böylece x=7x = 7 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Bilinmeyenleri tanımlayarak gün sayılarını belirleyin.
10 TL10\text{ TL} atılan gün sayısı xx ise, toplam gün sayısı 1515 olduğundan 5 TL5\text{ TL} atılan gün sayısı 15x15 - x olur.
Problemi çözebilmek için gün sayılarını tek bir değişken cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Günlük atılan miktarlar ile gün sayılarını çarparak toplam tutar denklemini kurun.
10×x+5×(15x)=11010 \times x + 5 \times (15 - x) = 110 denklemi elde edilir.
Kumbarada biriken toplam para miktarının 110 TL110\text{ TL} olduğu bilgisi kullanılarak bir eşitlik kurulmalıdır.
3
Kurulan denklemi çözerek xx değerini bulun.
10x+755x=1105x+75=1105x=35x=710x + 75 - 5x = 110 \Rightarrow 5x + 75 = 110 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7 bulunur.
Denklemin çözümü, doğrudan aradığımız 10 TL10\text{ TL} atılan gün sayısını verir.

Key Concept

Değişken tanımlama ve doğrusal denklem kurma.
Question 45Question

Bir çiçekçi elindeki gülleri her vazoda 33 veya 44 gül olacak şekilde vazolara yerleştiriyor. 33 gül yerleştirdiği vazo sayısı, 44 gül yerleştirdiği vazo sayısının 22 katından 55 eksiktir.

Çiçekçi bu gülleri her vazoda 55 gül olacak şekilde yerleştirseydi toplam vazo sayısı 66 azalacaktı.

Buna göre, çiçekçinin elindeki toplam gül sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6565

Answer

Çiçekçinin elindeki toplam gül sayısı 6565'tir.
Kurulan 10x15=15x5510x - 15 = 15x - 55 denklemi çözüldüğünde x=8x = 8 bulunur. Buradan toplam gül sayısı 10815=6510 \cdot 8 - 15 = 65 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama
44 gül yerleştirilen vazo sayısına xx dersek, 33 gül yerleştirilen vazo sayısı 2x52x - 5 olur.
Problemdeki '3 gül yerleştirilen vazo sayısı, 4 gül yerleştirilen vazo sayısının 2 katından 5 eksiktir' ifadesini matematiksel olarak modellemek için.
2
İlk durumdaki toplam vazo ve gül sayılarını ifade etme
Toplam vazo sayısı: x+(2x5)=3x5x + (2x - 5) = 3x - 5. Toplam gül sayısı: 4x+3(2x5)=10x154 \cdot x + 3 \cdot (2x - 5) = 10x - 15 olur.
Güllerin vazolara dağılımından yola çıkarak toplam gül sayısını veren cebirsel ifadeyi bulmak için.
3
İkinci durumdaki toplam gül sayısını ifade etme
İkinci durumda vazo sayısı 66 azaldığından yeni vazo sayısı: (3x5)6=3x11(3x - 5) - 6 = 3x - 11 olur. Her vazoda 55 gül olduğuna göre toplam gül sayısı: 5(3x11)=15x555 \cdot (3x - 11) = 15x - 55 olur.
Güllerin her vazoda 5 adet olması durumundaki toplam sayıyı veren yeni ifadeyi oluşturmak için.
4
Denklemleri eşitleme ve çözme
10x15=15x555x=40x=810x - 15 = 15x - 55 \Rightarrow 5x = 40 \Rightarrow x = 8 bulunur.
Toplam gül sayısı her iki durumda da aynı olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek vazo sayısını bulmak için.
5
Toplam gül sayısını hesaplama
Gül sayısı: 10815=6510 \cdot 8 - 15 = 65 bulunur.
Bulunan xx değerini gül sayısı formülünde yerine koyup toplam adedi hesaplamak için.

Key Concept

Sayı Problemleri

Alternative Method

Seçeneklerdeki sayılar üzerinden giderek deneme yanılma yöntemiyle de doğru cevaba ulaşılabilir. Örneğin toplam gül sayısı 6565 ise; her vazoda 55 gül olması durumunda 1313 vazo gerekir. Diğer durumda ise vazo sayısı 13+6=1913 + 6 = 19 olmalıdır. 44 gül içeren vazo sayısına xx dersek, 33 gül içeren vazo sayısı 19x19 - x olur. Toplam gül sayısı 4x+3(19x)=x+57=654x + 3(19 - x) = x + 57 = 65 buradan x=8x = 8 bulunur. 33 gül içeren vazo sayısı 198=1119 - 8 = 11 olur. Bu değerler '11=2(8)511 = 2(8) - 5' koşulunu sağladığı için cevap doğrulanmış olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 46Question

Bir lojistik firmasında çalışan Ahmet, ağırlıkları 15 kg15\text{ kg} ve 25 kg25\text{ kg} olan paketlerden toplam 4040 adetini bir kargo aracına yükleyecektir. Ahmet, bu yükleme sonucunda aracın taşıma kapasitesi olan 820 kg820\text{ kg} ağırlığa tam olarak ulaşılacağını hesaplamıştır.

Ancak yükleme sırasında Ahmet;
* Yanlışlıkla 15 kg15\text{ kg}'lık bazı paketlerin yerine 25 kg25\text{ kg}'lık paketler,
* 25 kg25\text{ kg}'lık bazı paketlerin yerine de 15 kg15\text{ kg}'lık paketler yüklemiştir.

Yükleme bittiğinde toplam paket sayısının yine 4040 olduğu, fakat aracın toplam yükünün 860 kg860\text{ kg} geldiği görülmüştür.

Yanlışlıkla 15 kg15\text{ kg}'lık paket yerine yüklenen 25 kg25\text{ kg}'lık paket sayısı, 25 kg25\text{ kg}'lık paket yerine yüklenen 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısının 33 katı olduğuna göre; son durumda araçta toplam kaç adet 15 kg15\text{ kg}'lık paket vardır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

Son durumda araçta toplam 14 adet 15 kg'lık paket vardır.
Planlanan paket sayıları denklem sistemi çözülerek 15 kg15\text{ kg}'lık paketler için 1818, 25 kg25\text{ kg}'lık paketler için 2222 olarak bulunur. Yüklemedeki hatalardan kaynaklanan net ağırlık artışı 860820=40 kg860 - 820 = 40\text{ kg}'dır. Yanlışlıkla 15 kg15\text{ kg} yerine 25 kg25\text{ kg} yüklenen paket sayısı aa, 25 kg25\text{ kg} yerine 15 kg15\text{ kg} yüklenen paket sayısı bb olduğunda 10a10b=40    ab=410a - 10b = 40 \implies a - b = 4 elde edilir. a=3ba = 3b olduğu bilindiğine göre b=2b = 2 ve a=6a = 6 bulunur. Son durumdaki 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısı 18a+b=186+2=1418 - a + b = 18 - 6 + 2 = 14 olarak bulunur. Bu nedenle 14 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Planlanan paket sayıları için denklem sistemini kurun ve çözün.
Planlanan 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısı 1818, 25 kg25\text{ kg}'lık paket sayısı 2222 olarak bulunur.
Hatalı yükleme öncesindeki başlangıç durumunu belirlemek için.
2
Yüklemedeki hatalardan kaynaklanan ağırlık değişimini ve bu değişimin denklemini yazın.
860820=40 kg860 - 820 = 40\text{ kg} artış gerçekleşmiştir. Bu durum 10a10b=40    ab=410a - 10b = 40 \implies a - b = 4 denklemini verir.
15 kg15\text{ kg} yerine 25 kg25\text{ kg} yüklenen her paket ağırlığı 10 kg10\text{ kg} artırırken, 25 kg25\text{ kg} yerine 15 kg15\text{ kg} yüklenen her paket ağırlığı 10 kg10\text{ kg} azaltır.
3
Hatalı yüklenen paketlerin oranını kullanarak paket sayılarını bulun.
a=3ba = 3b eşitliği ab=4a - b = 4 denkleminde yerine yazıldığında b=2b = 2 ve a=6a = 6 elde edilir.
Hatalı yüklenen paketlerin adetlerini tek tek belirlemek için.
4
Son durumdaki 15 kg15\text{ kg}'lık paket sayısını hesaplayın.
186+2=1418 - 6 + 2 = 14 adet paket.
Başlangıçtaki pakete, eksilen ve eklenen paketlerin etkisini uygulayarak nihai sayıyı bulmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve bilinmeyenlerin değişimi üzerindeki etkileri analiz etme

Alternative Method

Denklemleri kurduktan sonra seçenekleri deneyerek de doğru cevaba ulaşılabilir. Örneğin, son durumda 15 kg'lık paket sayısının 14 olduğu seçenekten yola çıkılarak sırasıyla planlanan ve değişen paket sayıları doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 47Question

Bir şirkette çalışanların katıldığı ve 3 sorudan oluşan bir memnuniyet anketine dair aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir katılımcı en az bir soruya "Evet" cevabı vermiştir.
* Sadece bir soruya "Evet" diyenlerin sayısı, en az iki soruya "Evet" diyenlerin sayısının 33 katıdır.
* Üç soruya da "Evet" diyenlerin sayısı, sadece iki soruya "Evet" diyenlerin sayısından 1717 eksiktir.
* Ankette verilen toplam "Evet" cevabı sayısı 140140'tır.

Buna göre, bu ankete katılan toplam kişi sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Ankete katılan toplam kişi sayısı 108'dir.
Doğru cevap olan 108 değeri, anket katılımcılarının verdikleri 'Evet' sayısına göre gruplandırılıp (sadece bir soruya, sadece iki soruya ve üç soruya da 'Evet' diyenler) sözel verilerin x=3(y+z)x = 3(y+z), yz=17y - z = 17 ve toplam cevap sayısının x+2y+3z=140x + 2y + 3z = 140 şeklinde modellenmesiyle elde edilir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde sırasıyla z=5z=5, y=22y=22 ve x=81x=81 bulunur. Toplam katılımcı sayısı ise bu üç grubun toplamı olan 81+22+5=10881 + 22 + 5 = 108 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlayın.
Sadece 1 soruya 'Evet' diyenler xx, sadece 2 soruya 'Evet' diyenler yy, 3 soruya 'Evet' diyenler zz olsun. Toplam kişi sayısı T=x+y+zT = x + y + z olur.
Problemi matematiksel modele dökmek için grupları belirlememiz gerekir.
2
Verilen oran ve fark bilgilerini denklemlere dönüştürün.
x=3(y+z)x = 3(y + z) ve z=y17    y=z+17z = y - 17 \implies y = z + 17 elde edilir.
Sözel ifadeleri değişkenler cinsinden ifade etmek için bu adımı uyguluyoruz.
3
Toplam cevap sayısını veren denklemi kurun.
Her grubun verdiği 'Evet' sayısı dikkate alınarak x+2y+3z=140x + 2y + 3z = 140 denklemi yazılır.
Toplam 'Evet' cevabı sayısının 140 olduğu bilgisini kullanabilmek için.
4
Denklem sistemini çözün.
x=3(y+z)x = 3(y+z) ifadesini yerine yazarsak 3(y+z)+2y+3z=140    5y+6z=1403(y+z) + 2y + 3z = 140 \implies 5y + 6z = 140 olur. Burada da y=z+17y = z + 17 yazılırsa 5(z+17)+6z=140    11z+85=140    11z=55    z=55(z + 17) + 6z = 140 \implies 11z + 85 = 140 \implies 11z = 55 \implies z = 5 bulunur.
Bilinmeyenleri bulmak için ikame yöntemini kullanıyoruz.
5
Diğer değişkenleri hesaplayın.
z=5z = 5 ise y=5+17=22y = 5 + 17 = 22 ve x=3(22+5)=81x = 3(22 + 5) = 81 bulunur.
Toplam katılımcı sayısına ulaşmak için tüm grup mevcudiyetlerini hesaplamamız gerekir.
6
Toplam kişi sayısını bulun.
T=81+22+5=108T = 81 + 22 + 5 = 108 elde edilir.
Tüm grupların toplamı ankete katılan toplam kişi sayısını verir.

Key Concept

Sayı problemlerinde denklem kurma ve çok değişkenli denklem sistemlerinin çözümü
Question 48Question

Bir kargo firması, gönderilen paketleri boyutlarına göre küçük boy ve büyük boy olarak iki sınıfa ayırmaktadır. Bu firmada kargo gönderim ücretleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Küçük boy bir paketin gönderim ücreti 40 TL40\text{ TL}, büyük boy bir paketin gönderim ücreti ise 70 TL70\text{ TL}'dir.
* Belirli bir günde bu firmadan toplam 4545 adet paket gönderilmiş ve bu gönderilerden toplam 2400 TL2400\text{ TL} gelir elde edilmiştir.

Ancak faturalandırma sırasında yapılan bir hata nedeniyle küçük boy paketlerden bazılarının ücreti büyük boy paket ücreti üzerinden, büyük boy paketlerden bazılarının ücreti ise küçük boy paket ücreti üzerinden hesaplanmıştır.

Hatalı işlem yapılmasaydı da gün sonunda elde edilecek toplam gelirin yine 2400 TL2400\text{ TL} olacağı hesaplandığına göre, hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok 40'tır.
Doğru cevap, hatalı faturalandırılan toplam paket sayısının en çok 40 olmasıdır. Küçük ve büyük boy paketlerin gerçek sayıları sırasıyla 25 ve 20 olarak hesaplandıktan sonra, hatalı faturalandırmanın toplam geliri etkilememesi için hata yapılan küçük boy paket sayısı ile büyük boy paket sayısının birbirine eşit olması gerektiği görülür (a=ba = b). Büyük boy paketlerin sayısı en fazla 20 adet olduğundan, hatalı faturalandırılan paket sayısı her grup için en fazla 20 olabilir. Bu durumda hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok 20 + 20 = 40 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küçük boy paket sayısını xx, büyük boy paket sayısını yy olarak tanımlayıp toplam paket sayısı denklemini kurmak.
x+y=45x + y = 45
Gönderilen toplam paket sayısı 45 olarak verilmiştir.
2
Doğru fiyatlar üzerinden toplam geliri veren denklemi kurmak ve gerçek paket sayılarını çözmek.
40x+70y=2400    4x+7y=24040x + 70y = 2400 \implies 4x + 7y = 240 elde edilir. Birinci denklemden x=45yx = 45 - y ifadesi yerine yazılırsa: 4(45y)+7y=240    180+3y=240    3y=60    y=204(45 - y) + 7y = 240 \implies 180 + 3y = 240 \implies 3y = 60 \implies y = 20 ve x=25x = 25 bulunur.
Gerçekte gönderilen küçük ve büyük boy paket adetlerini belirlemek için.
3
Hatalı faturalandırma sonucunda oluşan gelir değişimini modellemek.
Küçük boy olup büyük boy ücreti alınan paket sayısı aa, büyük boy olup küçük boy ücreti alınan paket sayısı bb olsun. Küçük boy paketlerin büyük boy olarak faturalandırılması geliri paket başına 30 TL30\text{ TL} artırır. Büyük boy paketlerin küçük boy faturalandırılması ise geliri paket başına 30 TL30\text{ TL} azaltır. Toplam gelir değişmediği için: 30a30b=0    a=b30a - 30b = 0 \implies a = b bulunur.
Hata sonrasındaki gelirin yine 2400 TL olduğunu kullanarak hatalı paket sayıları arasındaki ilişkiyi bulmak için.
4
Paket sayıları sınırlarını kullanarak hatalı faturalandırılan toplam paket sayısının (a+ba + b) en büyük değerini hesaplamak.
ax    a25a \leq x \implies a \leq 25 ve by    b20b \leq y \implies b \leq 20 olmalıdır. a=ba = b olduğuna göre bu koşulları sağlayan en büyük değer a=b=20a = b = 20 olur. Hatalı faturalandırılan toplam paket sayısı en çok a+b=20+20=40a + b = 20 + 20 = 40 bulunur.
Fiziksel paket sayıları üst sınırlarını gözeterek en fazla hatalı işlem sayısını belirlemek için.

Key Concept

Sayı Problemleri (Denklem Kurma ve Sınır Değer Analizi)
Question 49Question

Bir kütüphanedeki kitaplar raflara dizilecektir. Kitaplar her rafa 1212 adet olacak şekilde yerleştirildiğinde 66 kitap raf dışında kalmaktadır. Eğer her rafa 1515 adet kitap yerleştirilirse 22 raf tamamen boş kalmakta, diğer raflar ise tamamen dolmaktadır.

Buna göre, kütüphanede yerleştirilmek istenen toplam kitap sayısı kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Kütüphaneye yerleştirilmek istenen toplam kitap sayısı 150'dir.
Kütüphanedeki raf sayısına xx dediğimizde toplam kitap sayısı hem 12x+612x + 6 hem de 15(x2)15(x-2) ifadeleriyle gösterilebilir. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde 12x+6=15x3012x + 6 = 15x - 30 elde edilir. Buradan 3x=363x = 36 ve raf sayısı x=12x = 12 bulunur. Toplam kitap sayısı ise 12×12+6=15012 \times 12 + 6 = 150 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kütüphanedeki raf sayısına bir değişken atayarak kitap sayısını veren ilk ifadeyi yazın.
Raf sayısına xx dersek, her rafa 12 kitap konduğunda 6 kitap arttığı için toplam kitap sayısı 12x+612x + 6 olur.
Sözel olarak verilen ilk durumu matematiksel bir ifadeye dönüştürmek için.
2
Kitap sayısını veren ikinci durumu ifade eden denklemi yazın.
Her rafa 15 kitap konduğunda 2 raf boş kaldığına göre, kitap yerleştirilen raf sayısı x2x-2 olur. Bu durumda toplam kitap sayısı 15(x2)15(x-2) şeklinde ifade edilir.
Aynı toplam kitap miktarını farklı bir koşulla ifade edip denklem kurabilmek için.
3
İki durumu birbirine eşitleyerek raf sayısını (xx) bulun.
12x+6=15(x2)12x+6=15x3036=3xx=1212x + 6 = 15(x-2) \Rightarrow 12x + 6 = 15x - 30 \Rightarrow 36 = 3x \Rightarrow x = 12 bulunur.
Toplam kitap sayısının değişmediği gerçeğinden hareketle bilinmeyen raf sayısını hesaplamak için.
4
Bulunan raf sayısını ifadelerden birinde yerine yazarak toplam kitap sayısını hesaplayın.
Toplam kitap sayısı = 12×12+6=144+6=15012 \times 12 + 6 = 144 + 6 = 150 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen toplam kitap sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde sözel durumları doğrusal denklemlere dönüştürme ve ortak çözüm yapma.

Hints

1
Her iki durumda da toplam kitap sayısının değişmediğini unutmayın. Kitap sayısını kütüphanedeki raf sayısına bağlı birer bilinmeyenli ifade olarak yazmaya çalışın.
2
Raf sayısına xx derseniz, ilk durumdaki toplam kitap sayısını 12x+612x + 6 şeklinde yazabilirsiniz. İkinci durumda 2 raf boş kaldığına göre kitap yerleştirilen raf sayısı x2x-2 olacaktır.

Practice More

Benzer mantıkla, sıralara ikişerli veya üçerli oturan öğrencilerin sınıftaki toplam sayısını bulmaya yönelik problemleri çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 0s
Question 50Question

Bir bisiklet kiralama istasyonunda tek kişilik ve iki kişilik olmak üzere iki farklı türde bisiklet bulunmaktadır. Bu istasyondaki toplam bisiklet sayısı 3232 ve bu bisikletlerin toplam koltuk kapasitesi 4848'dir.

İstasyona gelen bir grup turist, tek kişilik bisikletlerin tamamını ve iki kişilik bisikletlerin bir kısmını kiraladıktan sonra istasyonda kalan bisikletlerin toplam koltuk kapasitesi 1212 olmuştur.

Buna göre, turist grubu bu istasyondan toplam kaç adet bisiklet kiralamıştır?

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Turist grubunun kiraladığı toplam bisiklet sayısı 26'dır.
Tek kişilik ve iki kişilik bisiklet sayıları denklem yardımıyla sırasıyla 16 ve 16 olarak bulunur. Tek kişilik bisikletlerin tamamı (16 adet) kiralanmıştır. Kalan koltuk kapasitesi 12 olduğuna ve sadece iki kişilik bisikletler kaldığına göre, kalan iki kişilik bisiklet sayısı 12 / 2 = 6 adettir. Başlangıçtaki 16 iki kişilik bisikletten 6'sı kaldığına göre 10 tanesi kiralanmıştır. Toplam kiralanan bisiklet sayısı 16 + 10 = 26 olur. Bu durum yirmi altı değerinin doğru olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki bisiklet türlerinin sayılarını belirlemek için denklem kuralım.
Tek kişilik bisiklet sayısı xx, iki kişilik bisiklet sayısı yy olsun. Toplam bisiklet sayısı x+y=32x + y = 32 ve toplam koltuk kapasitesi x+2y=48x + 2y = 48 olur.
Soruda verilen toplam bisiklet ve koltuk kapasitesi bilgilerini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
İkinci denklemden birinci denklemi çıkardığımızda (x+2y)(x+y)=4832y=16(x + 2y) - (x + y) = 48 - 32 \Rightarrow y = 16 bulunur. Birinci denklemde yerine yazarsak x+16=32x=16x + 16 = 32 \Rightarrow x = 16 elde edilir. Yani istasyonda başlangıçta 16 adet tek kişilik, 16 adet iki kişilik bisiklet vardır.
Her bir bisiklet türünün başlangıçtaki miktarını ayrı ayrı bulmak için.
3
Kiralama sonrası istasyonda kalan bisiklet sayılarını belirleyelim.
Turistler tek kişilik bisikletlerin tamamını kiraladığı için geriye 0 adet tek kişilik bisiklet kalmıştır. İki kişilik bisikletlerin ise bir kısmı kiralanmıştır. Kalan bisikletlerin koltuk kapasitesi 1212 olduğuna göre ve sadece iki kişilik bisikletler kaldığı için, kalan iki kişilik bisiklet sayısı 12/2=612 / 2 = 6 adettir.
Kalan koltuk kapasitesinden yola çıkarak kiralanmayan iki kişilik bisiklet sayısını hesaplamak için.
4
Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısını ve toplam kiralanan bisiklet sayısını hesaplayalım.
Başlangıçta 1616 adet iki kişilik bisiklet vardı ve geriye 66 adet kaldı. Demek ki kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı 166=1016 - 6 = 10 adettir. Kiralanan tek kişilik bisiklet sayısı 1616 olduğuna göre, toplam kiralanan bisiklet sayısı 16+10=2616 + 10 = 26 olarak bulunur.
Turist grubunun kiraladığı toplam bisiklet sayısını nihai olarak elde etmek için.

Key Concept

İki bilinmeyenli denklem sistemleri kurma ve sayı problemlerinde kalan miktar analizi.

Hints

1
Tek kişilik bisiklet sayısını xx, iki kişilik bisiklet sayısını yy olarak adlandırıp toplam bisiklet sayısı ve toplam koltuk kapasitesi için iki ayrı denklem yazarak işe başlayın.

Practice More

Benzer şekilde, iki farklı tarifeye sahip bir otopark ücretlendirmesi veya iki farklı tipte vagonu olan bir tren kapasite sorusu çözerek sayı problemlerinde denklem kurma becerilerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Koltuk kapasitesi üzerinden gidilebilir: Tüm bisikletler tek kişilik olsaydı kapasite 32 olurdu. Kapasitenin 48 olması, 4832=1648 - 32 = 16 adet bisikletin iki kişilik olduğunu gösterir. Toplam 32 bisiklet olduğuna göre tek kişilik bisiklet sayısı da 3216=1632 - 16 = 16'dır. Kalan kapasite 12 olduğuna göre, kalan bisikletler sadece iki kişilik olduğundan kalan bisiklet sayısı 12/2=612 / 2 = 6'dır. Kiralanan iki kişilik bisiklet sayısı 166=1016 - 6 = 10 olur. Toplam kiralanan bisiklet sayısı 16+10=2616 + 10 = 26'dır.
Estimated Time:1m 30s
Question 51Question

Bir tren hattında sefer yapan bir trenin ekonomi sınıfı vagonlarının her birinde 60 koltuk, business (işletme) sınıfı vagonlarının her birinde ise 40 koltuk bulunmaktadır. Toplam 12 vagondan oluşan bu trenin tüm koltukları doludur. Trenin ekonomi sınıfındaki toplam yolcu sayısı, business sınıfındaki toplam yolcu sayısının 3 katı olduğuna göre, bu trende kaç adet ekonomi sınıfı vagonu vardır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Ekonomi sınıfı vagon sayısı 8'dir.
Ekonomi sınıfı vagon sayısına ee, business sınıfı vagon sayısına bb denildiğinde; toplam vagon sayısı e+b=12e + b = 12 olur. Yolcuların kapasite ilişkisinden 60e=3×40b60e = 3 \times 40b yani e=2be = 2b eşitliği elde edilir. Bu eşitlik toplam vagon denkleminde yerine yazıldığında 2b+b=123b=12b=42b + b = 12 \Rightarrow 3b = 12 \Rightarrow b = 4 bulunur. Buradan ekonomi vagonu sayısı e=2×4=8e = 2 \times 4 = 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Ekonomi sınıfı vagon sayısına ee, business sınıfı vagon sayısına bb diyelim. Toplam vagon sayısına bağlı olarak birinci denklemi kuralım.
e+b=12e + b = 12
Trendeki toplam vagon sayısı 12 olarak verilmiştir.
2
Ekonomi ve business sınıfındaki toplam yolcu sayılarını hesaplayıp aralarındaki 3 kat ilişkisini gösteren ikinci denklemi kuralım.
60e=3×40b60e=120be=2b60e = 3 \times 40b \Rightarrow 60e = 120b \Rightarrow e = 2b
Ekonomi sınıfında vagon başına 60, business sınıfında vagon başına 40 koltuk vardır ve tüm koltuklar doludur. Ekonomi sınıfındaki toplam yolcu sayısı, business sınıfındakinin 3 katıdır.
3
Elde edilen e=2be = 2b ilişkisini ilk denklemde (e+b=12e + b = 12) yerine koyarak vagon sayılarını bulalım.
2b+b=123b=12b=42b + b = 12 \Rightarrow 3b = 12 \Rightarrow b = 4 ve e=2×4=8e = 2 \times 4 = 8 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözmek için bu adım uygulanır.

Key Concept

Sayı Problemleri
Question 52Question

Bir fırında simit ve poğaçalar üçerli veya dörderli paketler halinde hazırlanmaktadır. Bu paketlerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Simit paketlerinin her birinde ya sadece 33 simit ya da sadece 44 simit bulunmaktadır.
* Poğaça paketlerinin her birinde ya sadece 33 poğaça ya da sadece 44 poğaça bulunmaktadır.
* Bir gün içinde fırında bu iki üründen toplam 7575 paket hazırlanmıştır.
* Dörder simit içeren paket sayısı, üçer poğaça içeren paket sayısının 22 katıdır.
* Üçer simit içeren paket sayısı, dörder poğaça içeren paket sayısından 1010 fazladır.
* Gün sonunda paketlenen toplam simit sayısı, toplam poğaça sayısından 9595 fazla olduğuna göre, bu fırında söz konusu günde hazırlanan toplam poğaça paket sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2525

Answer

Toplam poğaça paket sayısı 25'tir.
Doğru yanıt olan 25 değeri, denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilen üçer poğaça içeren paketlerin sayısı (15) ile dörder poğaça içeren paketlerin sayısının (10) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımlama
Simit paket sayıları x3x_3 ve x4x_4, poğaça paket sayıları y3y_3 ve y4y_4 olsun.
Sözel ifadeleri matematiksel modele aktarmak için her bir paket türü için değişken belirlenir.
2
Paket sayıları arasındaki ilişkileri denklem olarak yazma
x4=2y3x_4 = 2y_3 ve x3=y4+10x_3 = y_4 + 10 ilişkileri elde edilir. Toplam paket sayısı x3+x4+y3+y4=75x_3 + x_4 + y_3 + y_4 = 75 denkleminde bu ifadeler yerine yazılırsa (y4+10)+2y3+y3+y4=75    3y3+2y4=65(y_4 + 10) + 2y_3 + y_3 + y_4 = 75 \implies 3y_3 + 2y_4 = 65 denklemi bulunur.
Toplam paket sayısı bilgisini kullanarak poğaça paketleri arasında birinci denklem bağıntısını kurmak için.
3
Ürün adetleri farkını denkleme aktarma
Toplam simit sayısı 3x3+4x43x_3 + 4x_4, toplam poğaça sayısı 3y3+4y43y_3 + 4y_4 olarak yazılır. Fark 9595 olduğundan 3(y4+10)+4(2y3)(3y3+4y4)=95    3y4+30+8y33y34y4=95    5y3y4=653(y_4 + 10) + 4(2y_3) - (3y_3 + 4y_4) = 95 \implies 3y_4 + 30 + 8y_3 - 3y_3 - 4y_4 = 95 \implies 5y_3 - y_4 = 65 denklemi elde edilir.
Simit ve poğaça sayılarının farkını kullanarak poğaça paketleri arasında ikinci denklem bağıntısını elde etmek için.
4
Elde edilen denklem sistemini çözme
3y3+2y4=653y_3 + 2y_4 = 65 ve 5y3y4=655y_3 - y_4 = 65 sisteminde ikinci denklemden y4=5y365y_4 = 5y_3 - 65 ifadesi çekilerek ilk denklemde yerine yazılır: 3y3+2(5y365)=65    13y3130=65    13y3=195    y3=153y_3 + 2(5y_3 - 65) = 65 \implies 13y_3 - 130 = 65 \implies 13y_3 = 195 \implies y_3 = 15 bulunur. Buradan da y4=5(15)65=10y_4 = 5(15) - 65 = 10 elde edilir.
Bilinmeyen poğaça paket sayılarını bulmak için.
5
Toplam poğaça paket sayısını bulma
Toplam poğaça paket sayısı y3+y4=15+10=25y_3 + y_4 = 15 + 10 = 25 olarak hesaplanır.
Soruda bizden istenen toplam poğaça paket sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Çok değişkenli sayı problemlerinde denklem sistemi kurma ve yerine koyma metodu ile çözüm
Question 53Question

Bir sinema salonundaki toplam 4040 koltuğun bir kısmı dolu, bir kısmı ise boştur. Dolu koltuk sayısı, boş koltuk sayısının 33 katından 44 fazladır.

Buna göre, bu sinema salonunda kaç dolu koltuk vardır?

Show answer & explanation

Answer: 31

Answer

Sinema salonunda 31 dolu koltuk vardır.
Boş koltuk sayısına bb ve dolu koltuk sayısına dd dediğimizde, d+b=40d + b = 40 ve d=3b+4d = 3b + 4 denklemlerini elde ederiz. Bu denklem sistemini çözdüğümüzde boş koltuk sayısı 99, dolu koltuk sayısı ise 3131 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt otuz bir olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri belirleyin ve sözel ifadeyi denkleme dökün.
Boş koltuk sayısı bb, dolu koltuk sayısı dd olsun. Toplam koltuk sayısı: d+b=40d + b = 40. Dolu koltuk sayısının boş koltuk sayısı cinsinden ifadesi: d=3b+4d = 3b + 4.
Soruda verilen ilişkileri matematiksel olarak ifade etmek i��in.
2
İkinci denklemdeki dd ifadesini birinci denklemde yerine yazın ve tek bilinmeyenli denklemi çözün.
(3b+4)+b=404b+4=404b=36b=9(3b + 4) + b = 40 \Rightarrow 4b + 4 = 40 \Rightarrow 4b = 36 \Rightarrow b = 9.
Boş koltuk sayısını bulmak için.
3
Bulunan boş koltuk sayısını kullanarak dolu koltuk sayısını hesaplayın.
d=3×9+4=27+4=31d = 3 \times 9 + 4 = 27 + 4 = 31.
Bizden istenen dolu koltuk sayısına ulaşmak için.

Key Concept

Sözel olarak verilen ilişkileri birinci dereceden denklem sistemine dönüştürme ve çözme.
Estimated Time:45s
Question 54Question

Bir çay fabrikasında paketlenen çaylar yalnızca 250250 gramlık ve 500500 gramlık paketler halinde satışa sunulmaktadır. Bu fabrikada bir günde paketlenen toplam çay miktarı 190190 kilogramdır.

Bir günde hazırlanan toplam paket sayısı 480480 olduğuna göre, 500500 gramlık paketlerin sayısı 250250 gramlık paketlerin sayısından kaç fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 8080

Answer

Paket sayıları arasındaki fark 8080'dir.
Kurulan iki bilinmeyenli denklem sisteminin (x+y=480x+y=480 ve x+2y=760x+2y=760) çözülmesiyle elde edilen 500500 gramlık paket sayısı (280280) ile 250250 gramlık paket sayısı (200200) arasındaki fark olan 8080 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri belirleyin ve paket sayısı denklemini kurun.
250250 gramlık paketlerin sayısı xx, 500500 gramlık paketlerin sayısı yy olsun. Toplam paket sayısı 480480 olduğundan: x+y=480x + y = 480 olur.
Problemdeki toplam paket sayısı verisini matematiksel bir eşitliğe dönüştürmek için.
2
Toplam ağ��rlık denklemini kurun.
Toplam çay miktarı 190190 kg yani 190.000190.000 gramdır. Paketlerin toplam ağırlığı: 250x+500y=190.000250x + 500y = 190.000 olur. Bu denklemin her iki tarafı 250250'ye bölündüğünde: x+2y=760x + 2y = 760 elde edilir.
Ağırlık ilişkisini doğrusal bir denklem haline getirip sadeleştirmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.
x+2y=760x + 2y = 760 denkleminden x+y=480x + y = 480 denklemi çıkarılırsa: (x+2y)(x+y)=760480    y=280(x + 2y) - (x + y) = 760 - 480 \implies y = 280 bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazıldığında: x+280=480    x=200x + 280 = 480 \implies x = 200 elde edilir.
Her bir paket türünün adetlerini ayrı ayrı bulmak için.
4
İstenen farkı hesaplayın.
yx=280200=80y - x = 280 - 200 = 80 bulunur.
500500 gramlık paketlerin sayısının 250250 gramlık paketlerin sayısından ne kadar fazla olduğunu bulmak için.

Key Concept

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri yardımıyla Sayı Problemlerinin Çözümü
Question 55Question

Bir otoparkta otomobiller ve motosikletler için iki farklı günlük ücret tarifesi uygulanmaktadır. Bir otomobilin günlük park ücreti, bir motosikletin günlük park ücretinin 22 katından 2525 TL eksiktir. Bu otoparka bir gün boyunca park eden toplam 6060 aracın 4040 tanesi otomobildir. Gün sonunda otoparkın bu araçlardan elde ettiği toplam park ücreti geliri 26002600 TL olduğuna göre, bir motosikletin günlük park ücreti kaç TL'dir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Motosikletin günlük park ücreti 36 TL'dir.
Motosikletin günlük park ücreti xx TL olarak seçilirse, otomobilin ücreti 2x252x - 25 TL olur. Toplam araç sayısı 6060 olduğundan ve bunlardan 4040 tanesi otomobil olduğundan, 2020 tanesi motosiklettir. Toplam gelir denklemi 40(2x25)+20x=260040(2x - 25) + 20x = 2600 olur. Bu denklem çözüldüğünde 80x1000+20x=2600    100x=3600    x=3680x - 1000 + 20x = 2600 \implies 100x = 3600 \implies x = 36 olarak bulunur. Bu nedenle doğru cevap 36 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1
Motosiklet ve otomobillerin günlük park ücretleri ile araç sayıları için değişkenleri belirleyip denklemi kurmak.
Motosikletin günlük park ücretine xx TL dersek, otomobilin günlük park ücreti 2x252x - 25 TL olur. Toplam 6060 araçtan 4040'ı otomobil ise geriye kalan 6040=2060 - 40 = 20 araç motosiklettir. Toplam gelir denklemi: 40(2x25)+20x=260040(2x - 25) + 20x = 2600 şeklindedir.
Verilen sözel ifadeleri matematiksel modele dönüştürmek için.
2
Kurulan denklemi parantezleri açarak ve benzer terimleri toplayarak sadeleştirmek.
80x1000+20x=2600    100x1000=260080x - 1000 + 20x = 2600 \implies 100x - 1000 = 2600 elde edilir.
Bilinmeyeni yalnız bırakmak amacıyla cebirsel işlemleri gerçekleştirmek için.
3
Sadeleştirilen denklemden xx değerini bulmak.
100x=3600    x=36100x = 3600 \implies x = 36 TL bulunur.
Soruda bizden istenen motosikletin günlük park ücretine ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde verilen ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme
Estimated Time:1m 30s
Question 56Question

Bir elektrikli scooter kiralama firmasında scooter'lar yalnızca 2020 dakikalık veya 3030 dakikalık paketler halinde kiralanmaktadır. Bir gün boyunca bu firmadan toplam 6060 defa kiralama yapılmış ve toplam kiralama süresi 14001400 dakika olmuştur.

Buna göre, gün boyunca yapılan kiralamaların kaç tanesi 2020 dakikalık pakettir?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Gün boyunca yapılan kiralamalardan 20 dakikalık pakete ait olanların sayısı 40'tır.
Doğru cevaba ulaşmak için 20 dakikalık kiralama sayısına xx, 30 dakikalık kiralama sayısına ise yy diyerek bir denklem sistemi kurulur. Toplam kiralama sayısı x+y=60x + y = 60 ve toplam süre 20x+30y=140020x + 30y = 1400 olur. Birinci denklem 20-20 ile çarpılıp ikinci denklemle toplandığında 10y=20010y = 200 ve buradan y=20y = 20 (30 dakikalık kiralama sayısı) elde edilir. Toplam kiralama sayısından bu değer çıkarıldığında (602060 - 20) 20 dakikalık kiralama sayısı 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
20 dakikalık kiralama sayısına xx, 30 dakikalık kiralama sayısına ise yy değişkeni verilir.
Değişkenler belirlendi: 20 dakikalık kiralama sayısı = xx, 30 dakikalık kiralama sayısı = yy.
Problemi matematiksel olarak ifade etmek için değişkenler tanımlanmalıdır.
2
Verilen bilgilere göre denklem sistemi kurulur.
x+y=60x + y = 60 (toplam kiralama sayısı) ve 20x+30y=140020x + 30y = 1400 (toplam kiralama süresi) denklemleri elde edilir.
Toplam kiralama sayısı ve toplam süre kullanılarak iki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturulur.
3
x+y=60x + y = 60 denkleminden xx yalnız bırakılarak (x=60yx = 60 - y) diğer denklemde yerine yazılır.
20(60y)+30y=1400120020y+30y=140010y=200y=2020(60 - y) + 30y = 1400 \Rightarrow 1200 - 20y + 30y = 1400 \Rightarrow 10y = 200 \Rightarrow y = 20 bulunur.
Denklem sistemini çözerek değişkenlerden birinin değerini bulmak amaçlanır.
4
Bulunan y=20y = 20 değeri toplam kiralama sayısından çıkarılarak xx değeri hesaplanır.
x=6020=40x = 60 - 20 = 40 elde edilir.
İstenen 20 dakikalık kiralama sayısı olan xx değerine ulaşmak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli denklem kurma ve çözme yoluyla sayı problemlerinin çözümü.
Estimated Time:1m 0s
Question 57Question

Bir kargo dağıtım merkezinde bulunan toplam 200200 adet ürün; küçük, orta ve büyük boy kutulara yerleştirilecektir. Bu kutularla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir küçük boy kutuya 33 ürün, her bir orta boy kutuya 66 ürün ve her bir büyük boy kutuya 1010 ürün konulmaktadır.
* Tüm ürünler kutulara tam dolacak şekilde yerleştirildiğinde toplam 4040 adet kutu kullanılmıştır ve hiç ürün artmamıştır.
* Kullanılan küçük boy kutu sayısı, büyük boy kutu sayısının 33 katından fazladır.

Buna göre, kullanılan orta boy kutu sayısı en fazla kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Kullanılan orta boy kutu sayısı en fazla 22 olabilir.
Kutuların sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olarak belirlenip denklemler çözüldüğünde 3y+7z=803y + 7z = 80 eşitliği ve x>3zx > 3z kısıtı elde edilir. Bu kısıtları sağlayan en büyük orta boy kutu sayısı 22 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küçük, orta ve büyük boy kutu sayılarını sırasıyla xx, yy ve zz değişkenleri olarak tanımlayıp verilen bilgilere göre denklemleri kurun.
Toplam kutu sayısı için x+y+z=40x + y + z = 40, toplam ürün sayısı için 3x+6y+10z=2003x + 6y + 10z = 200 denklemleri elde edilir. Ayrıca küçük boy kutu sayısının büy��k boy kutu sayısının 3 katından fazla olduğu bilgisiyle x>3zx > 3z eşitsizliği yazılır.
Problemin sözel verilerini matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
İlk denklemden xx değişkenini yalnız bırakıp ikinci denklemde yerine yazarak yy ve zz arasındaki ilişkiyi bulun.
x=40yzx = 40 - y - z ifadesini ürün sayısı denkleminde yerine yazarsak: 3(40yz)+6y+10z=200    1203y3z+6y+10z=200    3y+7z=803(40 - y - z) + 6y + 10z = 200 \implies 120 - 3y - 3z + 6y + 10z = 200 \implies 3y + 7z = 80 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayıs��nı azaltarak değişkenler arasındaki matematiksel ilişkiyi sadeleştirmek için.
3
3y+7z=803y + 7z = 80 denkleminde yy ve zz değişkenlerinin pozitif tam sayı olma koşulunu ve x>3zx > 3z eşitsizliğini sağlayan durumları inceleyin.
Denklemden 3y=807z3y = 80 - 7z elde edilir. yy'nin bir tam sayı olabilmesi için 807z80 - 7z ifadesi 3'ün katı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve y0y \geq 0 olmasını gerektiren zz değerleri 2,5,8,112, 5, 8, 11 olabilir. Bu değerler için yy ve xx değerleri hesaplanır:
* z=2z = 2 için y=22y = 22 ve x=40222=16x = 40 - 22 - 2 = 16 olur. 16>32    16>616 > 3 \cdot 2 \implies 16 > 6 (Sağlar)
* z=5z = 5 için y=15y = 15 ve x=40155=20x = 40 - 15 - 5 = 20 olur. 20>35    20>1520 > 3 \cdot 5 \implies 20 > 15 (Sağlar)
* z=8z = 8 için y=8y = 8 ve x=4088=24x = 40 - 8 - 8 = 24 olur. 24>38    24>2424 > 3 \cdot 8 \implies 24 > 24 (Sağlamaz)
* z=11z = 11 için y=1y = 1 ve x=40111=28x = 40 - 1 - 11 = 28 olur. 28>311    28>3328 > 3 \cdot 11 \implies 28 > 33 (Sağlamaz)
Sayı problemlerindeki tam sayı kısıtlamalarını ve eşitsizlik şartlarını sağlayan uygun tüm durumları belirlemek için.
4
Elde edilen geçerli çözümler arasından en büyük yy değerini belirleyin.
Geçerli çözümlerdeki orta boy kutu sayısı (yy) 2222 veya 1515 olabilir. Bu değerlerin en büyüğü 2222 olarak bulunur.
Soruda istenen en fazla kutu sayısını tespit etmek için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri ve tam sayı kısıtlı optimizasyon problemleri.
Question 58Question

Bir teknoloji mağazasında bir ay boyunca toplam 150150 adet A ve B marka tablet satılmıştır. Mağaza yönetimi, satılan her bir A marka tablet için satış temsilcilerine 6060 TL, her bir B marka tablet için ise 100100 TL prim ödemiştir.

Bu ayda satılan tabletler için temsilcilere ödenen toplam prim tutarı 11.40011.400 TL olduğuna göre, satılan A marka tablet sayısı B marka tablet sayısından kaç fazladır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Satılan A marka tablet sayısı, B marka tablet sayısından 30 fazladır.
Denklem sistemi kurulup çözüldüğünde satılan A marka tablet sayısı 90, B marka tablet sayısı 60 olarak bulunur. A marka tabletlerin sayısı B marka tabletlerin sayısından 30 fazladır.

Step-by-Step Solution

1
Satılan A marka tablet sayısına aa, B marka tablet sayısına bb diyerek toplam tablet sayısını ve toplam prim tutarını gösteren denklemleri kuralım.
a+b=150a + b = 150 ve 60a+100b=11.40060a + 100b = 11.400 denklemleri elde edilir.
Problemin sözel ifadesini matematiksel model haline getirmek için.
2
İkinci denklemi sadeleştirmek için her iki tarafı 2020'ye bölelim.
3a+5b=5703a + 5b = 570 denklemi elde edilir.
Katsayıları küçülterek işlemleri kolaylaştırmak için.
3
Birinci denklemi 33 ile çarparak taraf tarafa yok etme yöntemini uygulayalım.
3a+3b=4503a + 3b = 450 olur. İkinci denklemden bu denklemi çıkardığımızda 2b=120    b=602b = 120 \implies b = 60 bulunur.
Değişkenlerden birini yok edip diğerini bulmak için.
4
Bulduğumuz bb değerini birinci denklemde yerine yazarak aa değerini bulalım.
a+60=150    a=90a + 60 = 150 \implies a = 90 bulunur.
Diğer bilinmeyen değişkenin değerine ulaşmak için.
5
A marka tablet sayısı ile B marka tablet sayısı arasındaki farkı hesaplayalım.
ab=9060=30a - b = 90 - 60 = 30 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen farkı bulmak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerini çözme

Alternative Method

Tüm tabletlerin B marka olduğunu varsayarak fark üzerinden pratik hesaplama yapabiliriz. Eğer satılan 150150 tabletin tamamı B marka olsaydı, ödenen toplam prim 150×100=15.000150 \times 100 = 15.000 TL olurdu. Ancak gerçekte ödenen prim 11.40011.400 TL'dir. Aradaki 15.00011.400=3.60015.000 - 11.400 = 3.600 TL'lik fark, her bir A marka tablet için 4040 TL daha az prim ödenmesinden kaynaklanır. Buradan satılan A marka tablet sayısı 3.600/40=903.600 / 40 = 90 adet bulunur. Toplam 150150 tablet satıldığına göre, B marka tablet sayısı 15090=60150 - 90 = 60 adettir. Aralarındaki fark ise 9060=3090 - 60 = 30 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 59Question

Bir kafede bitki çayları küçük ve büyük boy olmak üzere iki farklı demlik seçeneğiyle servis edilmektedir. Küçük boy demlikten 33 bardak, büyük boy demlikten ise 55 bardak çay çıkmaktadır. Bir gün boyunca bu kafede toplam 4242 demlik bitki çayı servis edilmiş ve müşterilere toplam 174174 bardak çay doldurulmuştur. Buna göre, servis edilen büyük boy demlik sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Büyük boy demlik sayısı 24'tür.
Büyük boy demlik sayısı yy ve küçük boy demlik sayısı xx olarak tanımlandığında, x+y=42x + y = 42 ve 3x+5y=1743x + 5y = 174 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde y=24y = 24 değeri bulunur. Dolayısıyla büyük boy demlik sayısı 24 olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin tanımlanması ve ilk denklemin kurulması.
Küçük boy demlik sayısı xx, büyük boy demlik sayısı yy olsun. Toplam demlik sayısı 4242 olduğundan: x+y=42x + y = 42 denklemi elde edilir.
Soruda verilen toplam demlik miktarını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Bardak sayılarına göre ikinci denklemin kurulmas��.
Küçük boy demlikten 33 bardak, büyük boy demlikten ise 55 bardak çay çıktığına ve toplam bardak sayısı 174174 olduğuna göre: 3x+5y=1743x + 5y = 174 denklemi elde edilir.
Soruda verilen toplam bardak miktarını demlik sayıları cinsinden yazmak için.
3
Denklem sisteminin çözülmesi.
İlk denklem 3-3 ile çarpılıp ikinci denklemle taraf tarafa toplanır: 3(x+y)=3×42    3x3y=126-3(x + y) = -3 \times 42 \implies -3x - 3y = -126 ve (3x3y)+(3x+5y)=126+174(-3x - 3y) + (3x + 5y) = -126 + 174 işlemleriyle 2y=48    y=242y = 48 \implies y = 24 olarak bulunur.
Bilinmeyenlerden birini yok ederek istenen büyük boy demlik sayısı olan yy değerini doğrudan bulmak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemleri yardımıyla sayı problemlerinin çözümü.

Hints

1
Küçük boy demlik sayısına xx, büyük boy demlik sayısına yy diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmayı deneyin.
2
Toplam demlik sayısı x+y=42x+y=42 ve bardak sayısı 3x+5y=1743x+5y=174 eşitliklerini sağlar. Bu iki denklemi ortak çözün.
3
İlk denklemi 3-3 ile çarpıp ikinci denklemle toplarsanız xx değişkenini yok edebilir ve doğrudan yy değerine ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantık kullanarak, iki ve üç tekerlekli bisikletlerin bulunduğu bir parktaki toplam tekerlek sayısı sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Varsayım yöntemiyle çözüm: Eğer servis edilen tüm demlikler küçük boy olsaydı, toplam bardak sayısı 42×3=12642 \times 3 = 126 olurdu. Ancak gerçekte 174174 bardak doldurulmuştur. Aradaki fark 174126=48174 - 126 = 48 bardaktır. Her bir büyük boy demlik, küçük boy demlikten 53=25 - 3 = 2 bardak daha fazla çay verdiğine göre, büyük boy demlik sayısı 48/2=2448 / 2 = 24 olarak bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 60Question

Bir geri dönüşüm kampanyasında boş plastik şişe, cam şişe ve metal kutu teslim eden kişilere topladıkları atıklar karşılığında şu şekilde puan verilmektedir:

* Her 33 adet plastik şişe için 11 puan,
* Her 22 adet cam şişe için 33 puan,
* Her 44 adet metal kutu için 55 puan.

Bu kampanyaya katılan bir kişi, teslim ettiği plastik şişe sayısının cam şişe sayısının 22 katı olduğu toplam 9494 adet atık teslim etmiş ve karşılığında 8989 puan almıştır.

Buna göre, bu kişi kaç adet metal kutu teslim etmiştir?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Teslim edilen metal kutu sayısı 40'tır.
Denklem sistemi kurulup yerine koyma yöntemi uygulandığında, cam şişe sayısı 18, plastik şişe sayısı 36 ve metal kutu sayısı 40 olarak bulunur. Dolayısıyla metal kutu sayısı olan 40 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Atık türleri için değişkenler tanımlanır ve aralarındaki ilişki kullanılarak toplam atık sayısı denklemi yazılır.
Plastik şişe sayısı PP, cam şişe sayısı CC, metal kutu sayısı MM olsun. Soruda P=2CP = 2C olduğu belirtilmiştir. Toplam atık sayısı denkleminde yerine yazarsak:
P+C+M=94P + C + M = 94
2C+C+M=942C + C + M = 94
3C+M=94M=943C3C + M = 94 \Rightarrow M = 94 - 3C elde edilir.
Değişken sayısını azaltarak çözümü kolaylaştırmak amacıyla tüm bilinmeyenleri cam şişe sayısı (CC) cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Atıkların puanlama kurallarına göre toplam puan denklemi kurulur.
Plastik şişelerden gelen puan: P31=2C3\frac{P}{3} \cdot 1 = \frac{2C}{3}
Cam şişelerden gelen puan: C23=3C2\frac{C}{2} \cdot 3 = \frac{3C}{2}
Metal kutulardan gelen puan: M45=5M4\frac{M}{4} \cdot 5 = \frac{5M}{4}

Toplam puan denklemi:
2C3+3C2+5M4=89\frac{2C}{3} + \frac{3C}{2} + \frac{5M}{4} = 89
Toplanan puanların atık miktarlarıyla ilişkisini gösteren matematiksel modeli kurmak için bu adım gereklidir.
3
Kurulan puan denkleminde paydalar eşitlenir ve denklem sadeleştirilir.
Paydaları 12 ile genişletelim:
42C12+63C12+35M12=89\frac{4 \cdot 2C}{12} + \frac{6 \cdot 3C}{12} + \frac{3 \cdot 5M}{12} = 89
8C+18C+15M=89128C + 18C + 15M = 89 \cdot 12
26C+15M=106826C + 15M = 1068
Rasyonel katsayılı denklemi tam sayılı doğrusal bir denkleme dönüştürmek için payda eşitleme işlemi yapılır.
4
Birinci adımdaki M=943CM = 94 - 3C ifadesi puan denkleminde yerine yazılarak CC değeri bulunur.
26C+15(943C)=106826C + 15(94 - 3C) = 1068
26C+141045C=106826C + 1410 - 45C = 1068
19C=10681410-19C = 1068 - 1410
19C=342-19C = -342
C=18C = 18
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözerek cam şişe sayısını elde etmek için bu adım gereklidir.
5
Bulunan cam şişe sayısı kullanılarak metal kutu sayısı hesaplanır.
M=943CM = 94 - 3C
M=943(18)M = 94 - 3(18)
M=9454=40M = 94 - 54 = 40
Soruda bizden istenen metal kutu sayısına (MM) ulaşmak için bu son işlem gerçekleştirilir.

Key Concept

Sayı problemlerinde çok değişkenli durumlar için doğrusal denklem sistemleri kurma ve çözme.
Estimated Time:2m 30s
PreviousPage 3 / 4Next