Özel Tanımlı İşlemler Practice Questions — ALES

Gerçek sayılar kümesi üzerinde

\Delta

ve

\star

işlemleri

x \mathbin{\Delta} y = 2x + y

x \mathbin{\star} y = 3x - 2y + k

biçiminde tanımlanıyor.

(3 \mathbin{\Delta} 4) \mathbin{\star} 5 = 26

olduğuna göre,

k

değeri kaçtır?

3

-14

6

21

31

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

İşlemler sırasıyla uygulandığında denklemi sağlamaktadır. Öncelikle parantez içindeki

3 \mathbin{\Delta} 4

işlemi için kural uygulandığında

2 \times 3 + 4 = 10

elde edilir. Bu değer

\star

işleminde yerine yazıldığında

10 \mathbin{\star} 5 = 3 \times 10 - 2 \times 5 + k = 20 + k

olur. İfadenin

26

'ya eşit olması gerektiğinden

20 + k = 26 \implies k = 6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki işlem olan

3 \mathbin{\Delta} 4

ifadesinin değeri kurala göre hesaplanır.

3 \mathbin{\Delta} 4 = 2 \times 3 + 4 = 10

elde edilir.

İşlem önceliğine göre önce parantez içi işlem yapılmalıdır.

2

Elde edilen sonuç ikinci işlemde yerine yazılır:

10 \mathbin{\star} 5

.

10 \mathbin{\star} 5 = 3 \times 10 - 2 \times 5 + k = 20 + k

elde edilir.

Bulunan ara değer, dıştaki operatörün ilk bileşeni olarak işleme sokulur.

3

Bulunan ifade verilen eşitliğe (

26

) eşitlenerek bilinmeyen

k

değişkeni çözülür.

20 + k = 26 \implies k = 6

bulunur.

Bilinmeyen

k

sabitinin değerini bulmak için doğrusal denklem çözümü yapılır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde $\square$ ve $\circ$ işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

a \mathbin{\square} b = \frac{a \cdot b}{a + b}

a \mathbin{\circ} b = 2a - b

Buna göre,

(x \mathbin{\square} 6) \mathbin{\circ} 4 = 2

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

2

3

\frac{8}{3}

6

\frac{6}{17}

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

Eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulmak için önce parantez dışındaki işlem çözülür. Tanımlanan ikinci işleme göre parantez içinin değeri 3 olarak bulunur. Ardından bu değer birinci işlem tanımında yerine yazılarak denklem çözülür ve bilinmeyen değeri 6 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Dıştaki işlemi çözmek için parantez içindeki ifadeye tek bir değişken gibi davranılır.

x \mathbin{\square} 6 = 3

a \mathbin{\circ} b = 2a - b

tanımına göre

(x \mathbin{\square} 6) \mathbin{\circ} 4 = 2(x \mathbin{\square} 6) - 4 = 2

eşitliği yazılır. Buradan

2(x \mathbin{\square} 6) = 6

ve dolayısıyla

x \mathbin{\square} 6 = 3

bulunur.

2

Parantez içi ifadeyi tanımlanan birinci işlem kuralına göre açarak bilinmeyen değişken yalnız bırakılır.

x = 6

a \mathbin{\square} b = \frac{a \cdot b}{a + b}

tanımına göre

x \mathbin{\square} 6 = \frac{6x}{x + 6} = 3

eşitliği kurulur. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

6x = 3(x + 6) \Rightarrow 6x = 3x + 18 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6

elde edilir.

Key Concept

Özel tanımlı matematiksel operatörler ve işlem önceliği

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir $x$ pozitif tam sayısı için $\langle x \rangle$ işlemi aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

\langle x \rangle = \begin{cases} 2x + 1, & x \text{ tek ise} \\ x - 3, & x \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, $\langle \langle 5 \rangle \rangle$ işleminin sonucu kaçtır?

8

11

5

23

14

Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

İşlemin sonucu 23 sayısıdır.

İçteki

\langle 5 \rangle

işleminde 5 sayısı tek olduğu için tek sayı kuralı uygulanarak

2 \cdot 5 + 1 = 11

bulunur. Daha sonra dıştaki işlem için

\langle 11 \rangle

ifadesinde 11 sayısı da tek olduğu için tekrar tek sayı kuralı uygulanır ve

2 \cdot 11 + 1 = 23

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İçteki işlem olan

\langle 5 \rangle

değerini hesaplayın.

\langle 5 \rangle = 2 \cdot 5 + 1 = 11

5 sayısı bir tek sayı olduğu için kural gereği

2x + 1

ifadesi kullanılır.

2

Elde edilen sonuçla dıştaki işlemi, yani

\langle 11 \rangle

değerini hesaplayın.

\langle 11 \rangle = 2 \cdot 11 + 1 = 23

İlk adımdan gelen 11 sayısı da bir tek sayı olduğu için yine

2x + 1

kuralı uygulan��r.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler

Hints

1

İç içe geçmiş işlemlerde her zaman en içteki parantezden başlayın. Önce

\langle 5 \rangle

değerini bulun.

2

5 sayısı tek olduğundan üstteki kuralı (

2x + 1

) kullanın. Çıkan sonucu dıştaki işlemde yerine koyun ve sayının tek mi çift mi olduğuna tekrar bakın.

Practice More

Benzer kurallarla tanımlanmış fakat bu kez üçlü iç içe parantez içeren veya bilinmeyen bir değere eşitlenmiş denklemleri çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 4Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde

\Delta

işlemi,

a \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b

biçiminde tanımlanıyor.

(x \mathbin{\Delta} 2) = 16

olduğuna göre,

x

kaçtır?

4

5

7

10

11

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İşlemin doğru uygulanmasıyla elde edilen

x

değeri 5'tir.

Tanımlanan

a \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b

işleminde

a

yerine

x

ve

b

yerine

2

yazıldığında

2x + 3(2) = 16

denklemi elde edilir. Bu denklemi düzenlediğimizde

2x + 6 = 16

ve buradan

2x = 10

elde edilerek

x = 5

bulunur. Dolayısıyla doğru değer 5'tir.

Step-by-Step Solution

1

Tanımlanan işlem kuralında değişkenleri yerlerine yerleştirin.

x \mathbin{\Delta} 2 = 2x + 3(2)

a \mathbin{\Delta} b = 2a + 3b

tanımında birinci bileşen olan

a

yerine

x

, ikinci bileşen olan

b

yerine ise

2

yazılması gerekir.

2

Elde edilen ifadeyi düzenleyin ve verilen eşitliğe eşitleyin.

2x + 6 = 16

3 \cdot 2 = 6

çarpımı yapılarak denklem sadeleştirilir ve işlemin sonucu olan 16 değerine eşitlenir.

3

Oluşan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek

x

değerini bulun.

2x = 10 \Rightarrow x = 5

Eşitliğin her iki tarafından 6 çıkarılır ve ardından her iki taraf 2'ye bölünerek bilinmeyen

x

yalnız bırakılır.

Key Concept

Özel tanımlı bir işlemde değişkenleri kurala göre doğru sırada yerleştirip denklem çözme

Estimated Time:45s

Question 5Question →

1'den büyük her $n$ tam sayısı için $p(n)$ , $n$ sayısının en büyük asal böleni olarak tanımlanıyor.

1

'den büyük tam sayılar üzerinde

\langle n \rangle

işlemi

\langle n \rangle = \frac{n}{p(n)} + p(n)

biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre,

\langle \langle x \rangle \rangle = 6

eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı

x

doğal sayısı vardır?

2

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Koşulları sağlayan 4 farklı iki basamaklı doğal sayı vardır.

Doğru yanıt 4'tür. Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar incelendiğinde, bu sayıların 14, 15, 18 ve 20 olduğu görülür. Bu sayıların her biri işlem adımlarından geçirilerek doğrulandığında en büyük asal bölen koşulunu ve iki basamaklılık öncülünü eksiksiz sağlar.

Step-by-Step Solution

1

y = \langle x \rangle tanımlaması yaparak \langle y \rangle = 6 eşitliğini sağlayan y değerlerini belirlemek.

y sayısı 5, 8 veya 9 olabilir.

İçteki i��lemi tek bir değişken gibi ele alarak dıştaki işlem kuralını uygulamak çözümü kolaylaştırır.

2

y = p * k biçiminde yazılarak k + p = 6 denkleminin çözümlerini ve bu çözümlerin p(y) = p (en büyük asal bölen) şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

p = 5 için k = 1 ve y = 5; p = 3 için k = 3 ve y = 9; p = 2 için k = 4 ve y = 8 bulunur. Her üç y değeri de kendi en büyük asal böleniyle uyumludur.

Tanımda geçen p(y) değerinin y'nin en büyük asal böleni olması koşulunun doğrulanması gerekir.

3

\langle x \rangle = 5, \langle x \rangle = 8 ve \langle x \rangle = 9 eşitliklerini sağlayan iki basamaklı x sayılarını bulmak.

\langle x \rangle = 5 için sadece x = 6 (tek basamaklı) bulunur. \langle x \rangle = 8 için x = 15 (iki basamaklı) ve x = 7 (tek basamaklı) bulunur. \langle x \rangle = 9 için x = 14, 18, 20 (iki basamaklı) değerleri elde edilir.

Elde edilen y değerleri için ayrı ayrı x değerlerini ararken en büyük asal bölen şartı ve iki basamaklılık koşulu birlikte değerlendirilir.

4

Bulunan iki basamaklı x değerlerini listelemek ve sayısını bulmak.

x = 14, 15, 18, 20 olmak üzere toplam 4 farklı değer elde edilir.

Soruda istenen iki basamaklı olma şartına uyan tüm x değerlerinin sayısını belirlemek çözümü tamamlar.

Key Concept

Özel olarak tanımlanmış bir işlem kuralını aşamalı ve koşullara dikkat ederek uygulama.

Hints

1

İçteki işlemi bir y değişkeni gibi düşünerek \langle y \rangle = 6 eşitliğini sağlayan y değerlerini arayarak başlayın.

2

y = p * k ifadesinde k + p = 6 denklemindeki p değerinin y'nin en büyük asal böleni olduğunu unutmayın. Bu durum y değerlerini sınırlar.

3

y değerlerini 5, 8 ve 9 bulduktan sonra, her biri için \langle x \rangle = y denklemini sağlayan iki basamaklı x sayılarını arayın. En büyük asal bölen şartını her x değeri için tekrar kontrol edin.

Practice More

Benzer kurallarla tanımlanmış fakat tek-çift sayı koşulu içeren başka bir özel işlem sorusu çözerek koşullu işlem takibi becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerlerin büyüklüğüne göre iki basamaklı küçük sayıları (10, 11, 12...) doğrudan formüle koyarak denemek mümkündür. Ancak bu yöntem zaman kaybettirici ve hata yapmaya müsaittir.

Estimated Time:2m 30s

Question 6Question →

Her

a

ve

b

gerçel sayısı için

\Delta

ve

\star

işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

a \mathbin{\Delta} b = 3a - 2b

a \mathbin{\star} b = a \cdot b - (a + b)

Buna göre,

(x \mathbin{\Delta} 4) \mathbin{\star} 3 = 11

eşitliğini sağlayan

x

gerçel sayısı kaçtır?

2

3

4

5

15

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan

x

gerçel sayısı 5'tir.

Tanımlanan kurallar adım adım uygulandığında, dıştaki yıldız işlemi

2y - 3 = 11

denklemine dönüşür ve buradan parantez içi değer olan

7

elde edilir. Üçgen işlemi ise

3x - 8 = 7

denklemine dönüşür ve buradan bilinmeyen değer 5 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki işlem olan

x \mathbin{\Delta} 4

ifadesine

y

diyelim ve eşitliği

y

cinsinden yazalım.

y \mathbin{\star} 3 = 11

elde edilir.

İç içe geçmiş işlemleri daha kolay çözmek için en dıştaki işlemden başlayarak adım adım ilerlemek gerekir.

2

a \mathbin{\star} b = a \cdot b - (a + b)

tanımını

y \mathbin{\star} 3

ifadesine uygulayalım.

y \cdot 3 - (y + 3) = 11 \implies 3y - y - 3 = 11 \implies 2y - 3 = 11

elde edilir.

Tanımlanan işlem kuralına göre birinci bileşen ile ikinci bileşenin çarpımından bileşenlerin toplamı çıkarılmalıdır.

3

2y - 3 = 11

denklemini çözerek

y

değerini bulalım.

2y = 14 \implies y = 7

bulunur.

Bilinmeyen

y

değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 3 eklenip 2'ye bölünür.

4

y = 7

değerini ilk başta yaptığımız

y = x \mathbin{\Delta} 4

eşitliğinde yerine koyalım ve

\Delta

işlemini uygulayalım.

x \mathbin{\Delta} 4 = 7 \implies 3x - 2(4) = 7

elde edilir.

a \mathbin{\Delta} b = 3a - 2b

tanımı gereğince birinci bileşenin 3 katından ikinci bileşenin 2 katı çıkarılmalıdır.

5

3x - 8 = 7

denklemini çözerek

x

değerini bulalım.

3x = 15 \implies x = 5

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 8 eklenip 3'e bölünür.

Key Concept

Özel tanımlı sembollerin kurallarına uygun olarak denklem çözme ve işlem önceliğine dikkat etme.

Question 7Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde

\diamond

ve

\circ

işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

a \diamond b = (a + 1) \cdot (b - 1)

a \circ b = 2a - b

Buna göre,

(x \diamond 3) \circ 5 = 11

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 3'tür.

Verilen eşitlikte dıştaki

\circ

işleminin kuralı uygulandığında

2(x \diamond 3) - 5 = 11

elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

2(x \diamond 3) = 16 \implies x \diamond 3 = 8

bulunur. Daha sonra

\diamond

işleminin kuralı uygulandığında

(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3

olarak elde edilir. Bu nedenle doğru değer 3 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki

(x \diamond 3)

ifadesini tek bir değişken (örneğin

Y

) gibi kabul ederek d��ştaki

\circ

işlemini uygularız.

Y \circ 5 = 2Y - 5 = 11

denkleminden

2Y = 16 \implies Y = 8

elde edilir. Buradan

x \diamond 3 = 8

olduğu bulunur.

İşlem önceliğine göre önce dıştaki işlemin kuralı uygulanarak parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.

2

Bulunan

x \diamond 3 = 8

eşitliğine

\diamond

işleminin kuralı uygulanır.

(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8

denklemi elde edilir.

x

değişkenini bulabilmek için tanımlanan birinci işlemin kuralını uygularız.

3

2(x + 1) = 8

denklemi çözülerek bilinmeyen değer yalnız bırakılır.

x + 1 = 4 \implies x = 3

bulunur.

Eşitliğin her iki tarafı 2'ye bölünerek ve ardından 1 çıkarılarak

x

değeri elde edilir.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler

Özel Tanımlı İşlemler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes