Examkin

Question

Difficulty: HardÖzdeşlikler
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x−y=4x - y = 4
y−z=6y - z = 6
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x2+y2+z2−xy−yz−zxx^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    28
  2. B
    52
  3. 76Answer
  4. D
    100
  5. E
    152

Answer

İfadenin doğru değeri 76'dır.
Verilen ifade 12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]\frac{1}{2} [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2] özdeşliğine eşittir. Denklem sisteminden x−z=10x-z=10 bulunur. Değerler yerine yazıldığında sonuç 76 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sorulan ifadeyi tam kare özdeşlikleri cinsinden düzenle.
x2+y2+z2−xy−yz−zx=12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \left[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 \right] formülünü kullan.
Bu özdeşlik, kareler toplamı ve ikili çarpımlar farkını verilen farklar cinsinden ifade etmeyi sağlar.
2
x−zx-z değerini bulmak için verilen denklemleri taraf tarafa topla.
(x−y)+(y−z)=4+6  ⟹  x−z=10(x-y) + (y-z) = 4 + 6 \implies x - z = 10
Formüldeki üçüncü terim olan (x−z)(x-z)'yi bulmak için.
3
Bulunan değerleri formülde yerine yaz.
12[42+62+102]\frac{1}{2} \left[ 4^2 + 6^2 + 10^2 \right]
Değerleri hesaplamak için.
4
İşlemleri tamamla.
12[16+36+100]=12[152]=76\frac{1}{2} [16 + 36 + 100] = \frac{1}{2} [152] = 76
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerinin özel dönüşümleri

Hints

1
Bu ifadeyi çarpanlara ayırma formüllerinden yararlanarak (x−y)2(x-y)^2, (y−z)2(y-z)^2 ve (x−z)2(x-z)^2 terimlerini içerecek şekilde düzenlemeye çalışın.
2
İfadeyi 2 ile çarpıp 2'ye bölerseniz, 2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx elde edersiniz. Bu terimleri (x2−2xy+y2)(x^2-2xy+y^2) şeklinde gruplandırın.
3
Kullanmanız gereken özdeşlik: 12[(x−y)2+(y−z)2+(x−z)2]\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2]. Ayrıca x−z=(x−y)+(y−z)x-z = (x-y) + (y-z) eşitliğini unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruyu x−y=y−zx-y=y-z (eşit farklar) durumu için çözerek sonucun nasıl değiştiğini inceleyin.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: y=0y=0 seçilirse, denklemlerden x=4x=4 ve z=−6z=-6 bulunur. Bu değerler ifadede yerine yazılırsa: 42+02+(−6)2−(4)(0)−(0)(−6)−(−6)(4)=16+36+24=764^2 + 0^2 + (-6)^2 - (4)(0) - (0)(-6) - (-6)(4) = 16 + 36 + 24 = 76.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic