x pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, x^4 - 14x^2 + 1 = 0\neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x^3 + \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?

x pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, x^4 - 14x^2 + 1 = 0\neşitliği sağlanmaktadır. Buna … — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

x^4 - 14x^2 + 1 = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x^3 + \frac{1}{x^3}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Verilen denklem

x^2

ile bölünerek önce

x^2 + \frac{1}{x^2} = 14

elde edilir. Daha sonra tam kare özdeşliğinden

(x+\frac{1}{x})^2 = 16

bulunur ve pozitif kök olan 4 alınır. Son adımda küp toplamı özdeşliği kullanılarak

4^3 - 3(4) = 52

sonucuna ulaşılır.

Verilen

x^4 - 14x^2 + 1 = 0

denkleminin her iki tarafını

x^2

ile böl.

x^2 - 14 + \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 14

İfadeyi

x + \frac{1}{x}

formuna dönüştürmek için dereceyi düşürmek gerekir.

x + \frac{1}{x}

ifadesinin değerini bulmak için tam kare özdeşliğini kullan:

\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}

\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 14 + 2 = 16

x

pozitif olduğu için

x + \frac{1}{x} = 4

Küp toplamını hesaplamak için taban değerine ihtiyaç vardır.

Küp toplamı özdeşliğini uygula:

a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)

. Burada

a=x, b=1/x

x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 12 = 52

Sonuca ulaşmak için küp özdeşliği kullanılır.

İki kare ve iki küp toplamı özdeşlikleri ile değişken değiştirme teknikleri.