Examkin

Question

Difficulty: HardÖzdeşlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x2+9x2x^2 + \frac{9}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 19Answer
  2. B
    22
  3. C
    25
  4. D
    28
  5. E
    31

Answer

İfadenin değeri 19'dur.
Verilen denklem xx'e bölünerek x+3/x=5x + 3/x = 5 bulunur. Bu ifadenin karesi alındığında x2+2(x)(3/x)+9/x2=25x^2 + 2(x)(3/x) + 9/x^2 = 25 elde edilir. Ortadaki 2(x)(3/x)2(x)(3/x) terimi sadeleşerek 6 olur. 6 sayısı eşitliğin diğer tarafına eksi olarak geçtiğinde sonuç 25−6=1925 - 6 = 19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denklemini, istenen ifadeye benzetmek için düzenle.
Eşitliğin her iki tarafı xx'e bölünür: x−5+3x=0x - 5 + \frac{3}{x} = 0. Buradan x+3x=5x + \frac{3}{x} = 5 elde edilir.
x2+9x2x^2 + \frac{9}{x^2} ifadesine ulaşmak için x+3xx + \frac{3}{x} ifadesinin karesini almak gerekir.
2
Elde edilen eşitliğin her iki tarafının karesini al.
(x+3x)2=52\left(x + \frac{3}{x}\right)^2 = 5^2
Tam kare özdeşliğini (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kullanarak açılım yapmak için.
3
Parantez karesini aç ve düzenle.
x2+2⋅x⋅3x+(3x)2=25x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 25 x2+6+9x2=25x^2 + 6 + \frac{9}{x^2} = 25
Orta terimde xx'ler sadeleşir ve geriye sadece sayısal değer kalır.
4
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak sonucu bul.
x2+9x2=25−6=19x^2 + \frac{9}{x^2} = 25 - 6 = 19
İstenen ifadeyi yalnız bırakmak için.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği

Hints

1
Sorudaki ifadede x=0x=0 olamayacağından, verilen denklemin her iki tarafını xx'e bölmeyi deneyin.
2
x+3x=5x + \frac{3}{x} = 5 eşitliğini elde ettikten sonra, istenen ifadeye ulaşmak için her iki tarafın karesini alın.
3
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=3xb=\frac{3}{x}'tir. 2ab2ab teriminin sayısal bir değer olduğunu unutmayın.

Practice More

x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 ise x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} kaçtır? sorusunu çözerek eksili durumlardaki işaret değişimini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer x2=5x−3x^2 = 5x - 3 yazıp istenen ifadede yerine koyarsanız işlem çok uzayabilir ancak yine de sonuca ulaşılabilir. Özdeşlik kullanmak en pratik yoldur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic