Examkin

Özdeşlikler

39 questions

Question 1Question →
xx pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
x4−14x2+1=0x^4 - 14x^2 + 1 = 0
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 52

Answer

52
Verilen denklem x2x^2 ile bölünerek önce x2+1x2=14x^2 + \frac{1}{x^2} = 14 elde edilir. Daha sonra tam kare özdeşliğinden (x+1x)2=16(x+\frac{1}{x})^2 = 16 bulunur ve pozitif kök olan 4 alınır. Son adımda küp toplamı özdeşliği kullanılarak 43−3(4)=524^3 - 3(4) = 52 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x4−14x2+1=0x^4 - 14x^2 + 1 = 0 denkleminin her iki tarafını x2x^2 ile böl.
x2−14+1x2=0  ⟹  x2+1x2=14x^2 - 14 + \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 14
İfadeyi x+1xx + \frac{1}{x} formuna dönüştürmek için dereceyi düşürmek gerekir.
2
x+1xx + \frac{1}{x} ifadesinin değerini bulmak için tam kare özdeşliğini kullan: (x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
(x+1x)2=14+2=16\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 14 + 2 = 16. xx pozitif olduğu için x+1x=4x + \frac{1}{x} = 4.
Küp toplamını hesaplamak için taban değerine ihtiyaç vardır.
3
Küp toplamı özdeşliğini uygula: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b). Burada a=x,b=1/xa=x, b=1/x.
x3+1x3=43−3⋅1⋅4=64−12=52x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 12 = 52.
Sonuca ulaşmak için küp özdeşliği kullanılır.

Key Concept

İki kare ve iki küp toplamı özdeşlikleri ile değişken değiştirme teknikleri.
Question 2Question →
x=113+2x = \sqrt[3]{11} + 2 olduğuna göre,
x3−6x2+12x x^3 - 6x^2 + 12x
ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

İfadenin değeri 19'dur.
Verilen ifade (x−2)3(x-2)^3 açılımına tamamlanarak çözülmelidir. (x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 olduğundan, sorulan ifade (x−2)3+8(x-2)^3 + 8 şeklindedir. x−2=113x-2 = \sqrt[3]{11} yerine konulduğunda sonuç 11+8=1911+8=19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi (x−a)3(x-a)^3 özdeşliğine benzetmek için inceleriz.
(x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 özdeşliği hatırlanır.
Sorulan x3−6x2+12xx^3 - 6x^2 + 12x ifadesi, (x−2)3(x-2)^3 açılımının ilk üç terimidir.
2
Sorulan ifadeyi tam küp cinsinden yazarız.
x3−6x2+12x=(x−2)3+8x^3 - 6x^2 + 12x = (x-2)^3 + 8
Eşitliğin bozulmaması için çıkardığımız 8'i geri ekleriz.
3
Verilen xx değerini yerine yazarız.
x=113+2  ⟹  x−2=113x = \sqrt[3]{11} + 2 \implies x - 2 = \sqrt[3]{11}
xx değerini doğrudan yerine yazmak yerine, x−2x-2 değerini kullanmak işlemi kolaylaştırır.
4
Sonucu hesaplarız.
(113)3+8=11+8=19(\sqrt[3]{11})^3 + 8 = 11 + 8 = 19
Küp kök ile küp alma işlemi birbirini götürür.

Key Concept

Tam Küp Özdeşliği ve Değişken Değiştirme

Hints

1
İfadeyi (x−a)3(x-a)^3 şeklindeki bir tam küp açılımına benzetmeye çalışın.
2
Pascal üçgenindeki 1, 3, 3, 1 katsayılarını düşünerek ifadeyi (x−2)3(x-2)^3 ile ilişkilendirin.
3
(x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 özdeşliğini kullanın ve elinizdeki ifadeyi elde etmek için ne eklemeniz gerektiğini bulun.

Practice More

x=53−1x = \sqrt[3]{5} - 1 ise x3+3x2+3xx^3 + 3x^2 + 3x ifadesinin değeri kaçtır?
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →

x=73−1x = \sqrt[3]{7} - 1 olmak üzere,

x3+3x2+3x+10x^3 + 3x^2 + 3x + 10

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İfadenin doğru değeri 16'dır.
Verilen ifade, (x+1)3(x+1)^3 özdeşliğinin açılımına çok benzemektedir. İfadeyi (x3+3x2+3x+1)+9(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 9 şeklinde ayırdığımızda, ilk kısım tam olarak (x+1)3(x+1)^3 olur. xx değeri yerine yazıldığında parantez içi sadece 73\sqrt[3]{7} kalır ve küpü alındığında 7 elde edilir. Sonuç olarak 7+9=167 + 9 = 16 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi tam küp açılımına benzetmek için düzenle.
x3+3x2+3x+10=(x3+3x2+3x+1)+9x^3 + 3x^2 + 3x + 10 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 9
(x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 özdeşliğini kullanmak işlemi kolaylaştırır.
2
Özdeşliği kapalı forma getir.
(x+1)3+9(x+1)^3 + 9
Bu form, verilen xx değerini yerine koymak için çok daha uygundur.
3
xx değerini yerine yaz.
x=73−1x = \sqrt[3]{7} - 1 ise, x+1=73x+1 = \sqrt[3]{7} olur. İfade (73)3+9(\sqrt[3]{7})^3 + 9 haline gelir.
−1-1 ve +1+1 birbirini götürür, geriye sadece köklü ifade kalır.
4
Sonucu hesapla.
7+9=167 + 9 = 16
Küp kök ve küp birbirini götürür, kalan sayılar toplanır.

Key Concept

İki Terim Toplamının Küpü Özdeşliği: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Hints

1
İfadeyi (x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 açılımına benzetmeye çalışın.
2
Verilen ifadeyi (x3+3x2+3x+1)+sabit sayı(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + \text{sabit sayı} şeklinde yazın.
3
İfade (x+1)3+9(x+1)^3 + 9 şeklindedir. Şimdi xx yerine 73−1\sqrt[3]{7}-1 yazarak parantez içini sadeleştirin.

Practice More

(x−2)3(x-2)^3 açılımını içeren benzer bir soru çözerek negatif işaretli özdeşlikleri pekiştirin.
Estimated Time:1m 30s
Question 4Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x2+9x2x^2 + \frac{9}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

İfadenin değeri 19'dur.
Verilen denklem xx'e bölünerek x+3/x=5x + 3/x = 5 bulunur. Bu ifadenin karesi alındığında x2+2(x)(3/x)+9/x2=25x^2 + 2(x)(3/x) + 9/x^2 = 25 elde edilir. Ortadaki 2(x)(3/x)2(x)(3/x) terimi sadeleşerek 6 olur. 6 sayısı eşitliğin diğer tarafına eksi olarak geçtiğinde sonuç 25−6=1925 - 6 = 19 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denklemini, istenen ifadeye benzetmek için düzenle.
Eşitliğin her iki tarafı xx'e bölünür: x−5+3x=0x - 5 + \frac{3}{x} = 0. Buradan x+3x=5x + \frac{3}{x} = 5 elde edilir.
x2+9x2x^2 + \frac{9}{x^2} ifadesine ulaşmak için x+3xx + \frac{3}{x} ifadesinin karesini almak gerekir.
2
Elde edilen eşitliğin her iki tarafının karesini al.
(x+3x)2=52\left(x + \frac{3}{x}\right)^2 = 5^2
Tam kare özdeşliğini (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 kullanarak açılım yapmak için.
3
Parantez karesini aç ve düzenle.
x2+2⋅x⋅3x+(3x)2=25x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 25 x2+6+9x2=25x^2 + 6 + \frac{9}{x^2} = 25
Orta terimde xx'ler sadeleşir ve geriye sadece sayısal değer kalır.
4
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak sonucu bul.
x2+9x2=25−6=19x^2 + \frac{9}{x^2} = 25 - 6 = 19
İstenen ifadeyi yalnız bırakmak için.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği

Hints

1
Sorudaki ifadede x=0x=0 olamayacağından, verilen denklemin her iki tarafını xx'e bölmeyi deneyin.
2
x+3x=5x + \frac{3}{x} = 5 eşitliğini elde ettikten sonra, istenen ifadeye ulaşmak için her iki tarafın karesini alın.
3
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=3xb=\frac{3}{x}'tir. 2ab2ab teriminin sayısal bir değer olduğunu unutmayın.

Practice More

x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 ise x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} kaçtır? sorusunu çözerek eksili durumlardaki işaret değişimini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer x2=5x−3x^2 = 5x - 3 yazıp istenen ifadede yerine koyarsanız işlem çok uzayabilir ancak yine de sonuca ulaşılabilir. Özdeşlik kullanmak en pratik yoldur.
Estimated Time:2m 0s
Question 5Question →
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 119

Answer

İfadenin doğru değeri 119'dur.
Soruda verilen x−1/xx - 1/x ifadesinden x4+1/x4x^4 + 1/x^4 ifadesine ulaşmak için zincirleme olarak iki kez tam kare alma işlemi uygulanmalıdır. İlk kare almada (a−b)2(a-b)^2 özdeşliğinden gelen -2 terimi karşıya +2 olarak geçer ve ara toplam 11 bulunur. İkinci kare almada (a+b)2(a+b)^2 özdeşliğinden gelen +2 terimi karşıya -2 olarak geçer ve sonuç 119 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesini al.
(x−1x)2=32⇒x2−2⋅x⋅1x+1x2=9\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 \Rightarrow x^2 - 2\cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9
x4x^4 terimine ulaşmak için önce x2x^2 terimini içeren ifadeyi bulmak gerekir.
2
Elde edilen ifadede sabit terimi karşıya atarak x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} değerini bul.
x2−2+1x2=9⇒x2+1x2=11x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 11
Tam kare açılımından gelen −2-2 sayısı eşitliğin diğer tarafına +2+2 olarak geçer.
3
Bulunan x2+1x2=11x^2 + \frac{1}{x^2} = 11 eşitliğinin tekrar her iki tarafının karesini al.
(x2+1x2)2=112⇒x4+2⋅x2⋅1x2+1x4=121\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 11^2 \Rightarrow x^4 + 2\cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 121
x4x^4 terimine ulaşmak için ikinci kez kare alma işlemi uygulanır.
4
Sabit terimi karşıya atarak sonuca ulaş.
x4+2+1x4=121⇒x4+1x4=121−2=119x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 121 \Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = 121 - 2 = 119
Bu adımda tam kare açılımından gelen +2+2 sayısı eşitliğin diğer tarafına −2-2 olarak geçer.

Key Concept

Tam Kare Özdeşlikleri

Hints

1
İstenen ifade x4x^4 kuvvetini içerdiğine göre, verilen ifadenin karesini alarak işe başlamayı deneyin.
2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliğini kullanarak önce x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} değerini bulun.
3
Bulduğunuz x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin tekrar karesini alın. Bu sefer (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğini kullanmanız gerekecek.

Practice More

x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 verildiğinde x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} değerinin sorulduğu küp açılımı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Polinom özdeşlikleri yerine, x4+1/x4=(x2+1/x2)2−2x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2 ve x2+1/x2=(x−1/x)2+2x^2 + 1/x^2 = (x-1/x)^2 + 2 formülleri doğrudan iç içe kullanılarak da hesaplanabilir: ((3)2+2)2−2((3)^2 + 2)^2 - 2.
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−5)2(x - 5)^2
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: x2−10x+25x^2 - 10x + 25

Answer

İfadenin özdeşi olan açılım x2−10x+25x^2 - 10x + 25 şeklindedir.
İki terimin farkının karesi alınırken; birinci terimin karesi (x2x^2), birinci ile ikinci terimin çarpımının iki katı (−10x-10x) ve ikinci terimin karesi (+25+25) toplanır. Bu kural uygulandığında sonucun x2−10x+25x^2 - 10x + 25 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Tam kare farkı özdeşliği formülünü hatırla.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Bir farkın karesini açmak için standart matematiksel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen ifadede terimleri formüle yerleştir.
a=xa = x ve b=5b = 5
İfadedeki değişkenleri ve sabitleri özdeşlikteki karşılıklarıyla eşleştirerek işlem kolaylığı sağlanır.
3
Her bir terimin karesini ve çarpımlarının iki katını hesapla.
Birincinin karesi: x2x^2, Çarpımlarının iki katı: −2⋅x⋅5=−10x-2 \cdot x \cdot 5 = -10x, İkincinin karesi: 52=255^2 = 25
Özdeşliğin üç temel bileşeni ayrı ayrı hesaplanarak hata payı düşürülür.
4
Hesaplanan terimleri bir araya getirerek sonucu oluştur.
x2−10x+25x^2 - 10x + 25
Tüm bileşenlerin toplamı ifadenin en sade ve doğru açılımını verir.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği (İki Terimin Farkının Karesi)

Hints

1
İki terimin farkının karesi alınırken (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliği kullanılır.
2
İfadedeki birinci terim xx, ikinci terim ise 55'dir. Açılımda orta terimi bulmak için bu ikisini çarpıp 22 ile çarpmayı deneyin.
3
Birincinin karesi x2x^2, ikincinin karesi (−5)2=25(-5)^2 = 25 ve çarpımlarının iki katı −2⋅5⋅x=−10x-2 \cdot 5 \cdot x = -10x olur. Bu parçaları birleştirin.

Practice More

Benzer şekilde (2x+3)2(2x + 3)^2 ifadesinin açılımını yaparak tam kare özdeşliği pratiğinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Özdeşlik formülünü hatırlayamıyorsanız, (x−5)2(x-5)^2 ifadesini (x−5)⋅(x−5)(x-5) \cdot (x-5) şeklinde yazıp terimleri birbiriyle dağıtarak (çarpma işleminin dağılma özelliği) sonucu bulabilirsiniz: x⋅x+x⋅(−5)+(−5)⋅x+(−5)⋅(−5)=x2−5x−5x+25=x2−10x+25x \cdot x + x \cdot (-5) + (-5) \cdot x + (-5) \cdot (-5) = x^2 - 5x - 5x + 25 = x^2 - 10x + 25.
Estimated Time:45s
Question 7Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2+12x+36x^2 + 12x + 36
ifadesi aşağıdakilerden hangisinin özdeşidir?
Show answer & explanation

Answer: (x+6)2(x + 6)^2

Answer

Verilen ifade (x+6)2(x + 6)^2 tam kare toplam özdeşliğine eşittir.
Verilen ifade x2+12x+36x^2 + 12x + 36 biçimindedir. Burada a2=x2a^2 = x^2 (yani a=xa=x) ve b2=36b^2 = 36 (yani b=6b=6) olarak alındığında, orta terim 2ab=2⋅x⋅6=12x2ab = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x olmaktadır. Bu yapı (a+b)2(a+b)^2 formülüne tam olarak uyduğu için doğru cevap x artı 6'nın karesi olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Terimleri analiz edin
x2x^2 terimi xx'in karesidir, 3636 terimi ise 66'nın karesidir.
Tam kare bir ifadenin birinci ve üçüncü terimleri genellikle kareli ifadelerdir.
2
Orta terimi kontrol edin
12x12x ifadesi, 2×x×62 \times x \times 6 çarpımına eşittir.
Tam kare özdeşliğinde orta terim, birinci ve ikinci terimlerin çarpımının iki katı (2ab2ab) olmalıdır.
3
Özdeşliği belirleyin
(x+6)2=x2+12x+36(x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36
Tüm terimler pozitif olduğu ve 2ab2ab şartı sağlandığı için bu bir toplamın karesi özdeşliğidir.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Hints

1
İfadenin sonundaki 36 sayısının hangi sayının karesi olduğunu düşünün.
2
Tam kare açılımında orta terim, terimlerin çarpımının iki katıdır. 12x12x hangi çarpımın iki katıdır?
3
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=6b=6 alarak kontrol edin.

Practice More

Benzer şekilde x2−10x+25x^2 - 10x + 25 ifadesinin hangi tam kareye eşit olduğunu bulmaya çalışın.

Alternative Method

Seçeneklerdeki ifadeleri tek tek açarak hangi sonucun x2+12x+36x^2 + 12x + 36 verdiğini kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 8Question →
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0
olduğuna göre, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 23

Answer

İşlemler sonucunda x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} toplamının değeri 23 olarak bulunur.
Verilen denklem xx ile bölündüğünde x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 eşitliği elde edilir. Bu ifadenin karesi alındığında (x+1x)2=x2+2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} açılımından 25=x2+2+1x225 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} olur. Buradan 2 çıkarıldığında 23 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0 denkleminin her bir terimini xx ile bölün.
x2x−5xx+1x=0x⇒x−5+1x=0\frac{x^2}{x} - \frac{5x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0}{x} \Rightarrow x - 5 + \frac{1}{x} = 0
x+1xx + \frac{1}{x} yapısına ulaşmak için değişkenleri sadeleştirmek gerekir.
2
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak ifadeyi düzenleyin.
x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5
Tam kare özdeşliğini uygulayabilmek için temel toplamı yalnız bırakmak gerekir.
3
Elde edilen x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 eşitliğinin her iki tarafının karesini alın.
(x+1x)2=52⇒x2+2⋅x⋅1x+1x2=25(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25
x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} terimlerine ulaşmak için tam kare açılımı yapılmalıdır.
4
Ortadaki sabit terimi sadeleştirip karşıya atarak istenen toplamı bulun.
x2+2+1x2=25⇒x2+1x2=25−2=23x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2 = 23
İstenen ifadeyi yalnız bırakmak için +2+2 sabitini karşıya işaret değiştirerek geçirmek gerekir.

Key Concept

İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Hints

1
Denklemin her terimini xx değişkenine bölerek x+1/xx + 1/x yapısını elde etmeye çalışın.
2
x+1/x=5x + 1/x = 5 olduğunu bulduktan sonra her iki tarafın karesini alarak tam kare özdeşliğini uygulayın.
3
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 açılımında a=xa=x ve b=1/xb=1/x alırsanız ortadaki terimin 22 olacağını göreceksiniz.

Practice More

x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 ise x2+1/x2x^2 + 1/x^2 toplamını bularak farkın karesi özdeşliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

x2+1x2=(x+1x)2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 genel formülünü kullanarak, x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 değerini doğrudan yerine yerleştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 9Question →
a,ba, b ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
a+b+c=12a + b + c = 12
ab+ac+bc=31ab + ac + bc = 31
olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 82

Answer

İstenen kareler toplamının değeri 82'dir.
Verilen a+b+c=12a+b+c=12 ifadesinin her iki yanının karesi alındığında a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=144a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) = 144 elde edilir. Soruda verilen ab+ac+bc=31ab+ac+bc=31 değeri yerine yazıldığında a2+b2+c2+62=144a^2+b^2+c^2+62=144 denklemi kurulur. Buradan a2+b2+c2=144−62=82a^2+b^2+c^2 = 144-62=82 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Üç terimli toplamın karesi özdeşliğini yazma
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
Verilen toplam ve ikili çarpım değerlerini kullanarak kareler toplamına ulaşmak için bu temel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koyma
122=a2+b2+c2+2(31)12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(31)
a+b+c=12a+b+c = 12 ve ab+ac+bc=31ab+ac+bc = 31 değerleri formüle yerleştirilir.
3
Karesel ve çarpımsal işlemleri tamamlama
144=a2+b2+c2+62144 = a^2 + b^2 + c^2 + 62
122=14412^2 = 144 ve 2×31=622 \times 31 = 62 hesaplamaları yapılır.
4
İstenen ifadeyi yalnız bırakma
a2+b2+c2=144−62=82a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 62 = 82
6262 sayısı eşitliğin sol tarafına çıkarma işlemi olarak geçirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Üç Terimli Toplamın Karesi Özdeşliği

Alternative Method

Değer verme yöntemi bu tarz sorularda bazen işe yarasa da, gerçel sayı şartı olduğu için tam sayı değerleri bulmak zor olabilir. En güvenli ve hızlı yol özdeşlik formülünü uygulamaktır.
Estimated Time:1m 0s
Question 10Question →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
(2x+y)2(2x + y)^2
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2

Answer

Verilen (2x+y)2(2x + y)^2 ifadesinin özdeşi 4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2 olur.
Tam kare özdeşliği kuralına göre (a+b)2(a+b)^2 ifadesi a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 şeklinde açılır. Soruda a=2xa=2x ve b=yb=y olduğu için (2x)2+2(2x)(y)+y2(2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2 işleminin sonucu olan 4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirleyelim.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimin toplamının karesini açmak için standart cebirsel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen ifadedeki terimleri formüldeki değişkenlerle eşleştirelim.
a=2xa = 2x ve b=yb = y
Parantez içindeki ilk terim 2x2x, ikinci terim ise yy değeridir.
3
Terimleri formülde yerine koyalım.
(2x)2+2⋅(2x)⋅(y)+(y)2(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (y) + (y)^2
Özdeşlik kuralına göre: (birincinin karesi) + 2 ⋅\cdot (birinci ⋅\cdot ikinci) + (ikincinin karesi).
4
Matematiksel işlemleri tamamlayalım.
4x2+4xy+y24x^2 + 4xy + y^2
(2x)2(2x)^2 hesaplanırken hem 2'nin hem de xx'in karesi alınır; orta terimdeki katsayılar (2⋅22 \cdot 2) çarpılır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği: İki terimin toplamının karesi alınırken terimlerin kareleri toplamına, terimlerin çarpımının iki katı eklenir.

Hints

1
(a+b)2(a+b)^2 açılımını yaparken 'birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesi' tekerlemesini hatırlayın.
2
Burada birinci terim 2x2x, ikinci terim yy değeridir. (2x)2(2x)^2 ifadesinin sonucuna dikkat edin.
3
(2x)2=4x2(2x)^2 = 4x^2 ve orta terim olan 2⋅(2x)⋅y=4xy2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy değerlerini birleştirerek sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir pekiştirme için (3x−2)2(3x - 2)^2 ifadesinin açılımını yapmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 11Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4
olduğuna göre, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

Verilen ifadenin her iki yanının karesi alındığında ve tam kare özdeşliği uygulandığında sonuç 18 olarak bulunur.
Verilen x−1/x=4x - 1/x = 4 denkleminde her iki tarafın karesi alındığında, tam kare özdeşliği gereği x2−2(x)(1/x)+(1/x)2=16x^2 - 2(x)(1/x) + (1/x)^2 = 16 elde edilir. Buradaki −2-2 terimi eşitliğin sağ tarafına +2+2 olarak aktarıldığında 16+2=1816 + 2 = 18 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 eşitliğinin her iki yanının karesini alalım.
(x−1x)2=42\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4^2
İstenen x2x^2 ve 1x2\frac{1}{x^2} terimlerine ulaşmak için değişkenlerin karesine ihtiyaç vardır.
2
Tam kare özdeşliğini (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 uygulayalım.
x2−2⋅x⋅1x+1x2=16x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16
Parantez dışındaki karenin terimlere nasıl dağıldığını gösteren temel özdeşlik kuralıdır.
3
Ortadaki x⋅1xx \cdot \frac{1}{x} terimini sadeleştirelim.
x2−2+1x2=16x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16
Bir sayının çarpmaya göre tersi ile çarpımı 1'e eşittir.
4
−2-2 ifadesini eşitliğin karşı tarafına atarak istenen ifadeyi yalnız bırakalım.
x2+1x2=16+2=18x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2 = 18
Eşitliğin bir tarafındaki negatif terim diğer tarafa pozitif olarak geçer.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Hints

1
İstenen terimler kareli olduğu için verilen eşitliğin her iki yanının karesini alarak başlayın.
2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliğini kullanırken ortadaki çarpım terimine dikkat edin.
3
xx ile 1/x1/x çarpıldığında birbirini sadeleştirerek sadece −2-2 sabit sayısını bırakacaktır.

Practice More

Benzer şekilde x+1/x=6x + 1/x = 6 verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 değerini hesaplayarak tam kare farkı ve toplamı arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Özdeşliklerdeki dönüşüm formüllerinden biri olan a2+b2=(a−b)2+2aba^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab formülü doğrudan uygulanabilir. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınırsa x2+(1/x)2=(x−1/x)2+2(x)(1/x)x^2 + (1/x)^2 = (x - 1/x)^2 + 2(x)(1/x) olur. Verilenleri yerine koyduğumuzda 42+2=184^2 + 2 = 18 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
a2b+b2a=4(a+b) \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} = 4(a+b)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, ab+ba\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ifadesinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İfadenin alabileceği pozitif değer 5'tir.
Verilen denklemde payda eşitlendiğinde a3+b3a^3+b^3 ifadesi elde edilir. Bu ifade (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2-ab+b^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Eşitliğin her iki tarafındaki (a+b)(a+b) çarpanları sadeleştirildiğinde a2−ab+b2=4aba^2-ab+b^2 = 4ab kalır. Buradan a2+b2=5aba^2+b^2 = 5ab bulunur. Sorulan ifade payda eşitlendiğinde a2+b2ab\frac{a^2+b^2}{ab} olduğundan, sonuç 5abab=5\frac{5ab}{ab} = 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitlemesi yap.
a3+b3ab=4(a+b)\frac{a^3 + b^3}{ab} = 4(a+b)
Rasyonel ifadeleri toplamak için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenle.
a3+b3=4ab(a+b)a^3 + b^3 = 4ab(a+b)
Bölüm durumundaki ifadeyi çarpım durumuna getirerek denklem çözümünü kolaylaştırmak.
3
İki küp toplamı (a3+b3a^3+b^3) özdeşliğini uygula.
(a+b)(a2−ab+b2)=4ab(a+b)(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 4ab(a+b)
Çarpanlara ayırma yöntemiyle ortak terimleri ortaya çıkarmak.
4
Eşitliğin her iki tarafını (a+b)(a+b) ifadesine böl (Sadeleştirme).
a2−ab+b2=4aba^2 - ab + b^2 = 4ab
İfadenin pozitif değeri sorulduğu için a+b≠0a+b \neq 0 kabul edilir ve sadeleştirme yapılır. (a+b=0a+b=0 durumu negatif sonuç verir).
5
−ab-ab terimini karşı tarafa atarak a2+b2a^2 + b^2 ifadesini yalnız bırak.
a2+b2=5aba^2 + b^2 = 5ab
Sorulan ifadeyi elde etmek için kareler toplamını abab cinsinden yazmak.
6
Sorulan ifadeyi (ab+ba \frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) düzenle ve bulduğun değeri yerine yaz.
a2+b2ab=5abab=5\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5
Sonuca ulaşmak için elde edilen eşitliği kullanmak.

Key Concept

İki küp toplamı özdeşliği (x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)) ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme.

Hints

1
Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek işe başlayın.
2
Payda eşitledikten sonra ortaya çıkan a3+b3a^3 + b^3 ifadesini çarpanlarına ayırın: (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2 - ab + b^2).
3
Eşitliğin her iki tarafındaki (a+b)(a+b) çarpanlarını sadeleştirin ve a2+b2a^2+b^2 ile abab arasındaki ilişkiyi bulun.

Alternative Method

Değer verme yöntemi bu tür sorularda zordur ancak a2+b2=kaba^2+b^2=kab formuna ulaştıktan sonra homojen denklem mantığıyla her terimi abab'ye bölerek doğrudan sonuca gidilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 13Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(4x−1)2(4x - 1)^2
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 16x2−8x+116x^2 - 8x + 1

Answer

İfadenin tam kare açılımı 16x2−8x+116x^2 - 8x + 1 şeklindedir.
İki terim farkının karesi alınırken; birinci terimin karesi (16x216x^2), birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı (−8x-8x) ve ikinci terimin karesi (+1+1) toplanır. Bu kurala tam uygun olan ifade budur.

Step-by-Step Solution

1
Kullanılacak özdeşliği belirle.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
İfade iki terimin farkının karesi formundadır.
2
Terimleri özdeşlikte yerine koy.
a=4xa = 4x ve b=1b = 1 için: (4x)2−2⋅(4x)⋅1+12(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2
Birinci terim 4x4x, ikinci terim 11 olarak belirlenir.
3
Üslü ve çarpma işlemlerini tamamla.
16x2−8x+116x^2 - 8x + 1
(4x)2=16x2(4x)^2 = 16x^2, 2⋅4x⋅1=8x2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x ve 12=11^2 = 1 olduğu için.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği (İki Terim Farkının Karesi)

Hints

1
Bu ifade (a−b)2(a - b)^2 formundadır. Özdeşliği hatırlayın: a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2.
2
Birinci terim olan 4x4x'in karesini alırken hem 44'ün hem de xx'in karesini almayı unutmayın.
3
Orta terim için 2⋅(4x)⋅(1)2 \cdot (4x) \cdot (1) işlemini yapın ve başına eksi işareti koyun.

Practice More

Benzer bir pekiştirme için (3x+2)2(3x+2)^2 ifadesinin açılımını yapmayı deneyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 14Question →

Bir kenar uzunluğu (x+3)(x + 3) birim olan kare şeklindeki bir panonun alanı (x+3)2(x + 3)^2 birimkaredir. Bu panonun alanını veren ifadenin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: x2+6x+9x^2 + 6x + 9

Answer

Karenin alanını veren özdeş ifade x2+6x+9x^2 + 6x + 9 şeklindedir.
İki terimin toplamının karesi alınırken; birinci terimin karesi (x2x^2), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2⋅x⋅3=6x2 \cdot x \cdot 3 = 6x) ve ikincinin karesi (32=93^2 = 9) toplanır. Bu kural uygulandığında x2+6x+9x^2 + 6x + 9 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Tam kare özdeşliği formülünü belirle.
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
İki terimin toplamının karesi alınırken bu temel özdeşlik kullanılır.
2
Sorudaki terimleri formüldeki yerlerine yerleştir.
a=xa = x ve b=3b = 3 olsun. Bu durumda: x2+2⋅(x⋅3)+32x^2 + 2 \cdot (x \cdot 3) + 3^2
Değişkenlerin ve sabit sayıların karesini ve çarpımlarını hesaplamak için yerleştirme yapılır.
3
İfadeyi sadeleştirerek nihai sonucu bul.
x2+6x+9x^2 + 6x + 9
2⋅3=62 \cdot 3 = 6 ve 32=93^2 = 9 işlemleri yapılarak en sade biçime ulaşılır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği (Toplamın Karesi)

Hints

1
İki terimin toplamının karesini alırken (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 formülünü hatırla.
2
Bu soruda aa yerine xx, bb yerine 33 yazarak işlem yapmalısın.
3
xx'in karesini al, xx ile 33'ü çarpıp iki katını bul ve son olarak 33'ün karesini ekle.

Practice More

Benzer şekilde (2x+1)2(2x + 1)^2 ifadesinin açılımını yaparak katsayıların nasıl değiştiğini inceleyebilirsin.

Alternative Method

Özdeşliği hatırlamıyorsan (x+3)2(x+3)^2 ifadesini (x+3)⋅(x+3)(x+3) \cdot (x+3) şeklinde yazıp terimleri tek tek birbiriyle çarpabilirsin (dağılma özelliği): x⋅x+x⋅3+3⋅x+3⋅3x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3.
Estimated Time:45s
Question 15Question →

Karekök içinde verilen aşağıdaki işlemde,

916−12+19 \sqrt{\frac{9}{16} - \frac{1}{2} + \frac{1}{9}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 512\frac{5}{12}

Answer

I˙s\cleminsonucu512deg˘eridir.İşlemin sonucu \frac{5}{12} değeridir.
Verilen ifade incelendiğinde, kök içindeki sayıların (a−b)2(a-b)^2 tam kare açılımı olduğu görülür. 916\frac{9}{16} sayısı (34)2\left(\frac{3}{4}\right)^2, 19\frac{1}{9} sayısı (13)2\left(\frac{1}{3}\right)^2'tür. Ortadaki 12\frac{1}{2} terimi ise bu iki sayının çarpımının iki katıdır (2⋅34⋅13=612=122 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}). Bu durumda ifade (34−13)2\sqrt{(\frac{3}{4} - \frac{1}{3})^2} şekline dönüşür. Karekök ile kare birbirini götürür ve ifade mutlak değer içinde 512\frac{5}{12} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki ifadeyi tam kare özdeşliği formatında analiz et.
916=(34)2\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2, 19=(13)2\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 ve 12=2⋅34⋅13\frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}
İfadenin (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 formatına uyduğunu görmek için terimleri ayrıştırırız.
2
İfadeyi tam kare parantezine al.
(34−13)2\sqrt{\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right)^2}
Üç terimli ifadeyi, iki terimin farkının karesi olarak yazarız.
3
Kareköklü ifadeyi mutlak değer içinde dışarı çıkar.
∣34−13∣\left| \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \right|
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralı gereği, sayı kök dışına mutlak değerle çıkar.
4
Mutlak değer içindeki rasyonel sayı çıkarma işlemini yap.
34−13=912−412=512\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}
Paydalar 12'de eşitlenerek çıkarma işlemi tamamlanır.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği

Hints

1
Kök içindeki sayıların tam kare olup olmadığını kontrol edin (9/169/16 ve 1/91/9 gibi).
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →
x=7+1x = \sqrt{7} + 1 ve y=7−1y = \sqrt{7} - 1 olduğuna göre, x2+2xy+y2x2−y2\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2} ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 7\sqrt{7}

Answer

İfadenin sadeleştirilmiş halindeki değerlerin yerine konulmasıyla elde edilen sonuç 7\sqrt{7} değeridir.
Verilen rasyonel ifadenin payı (x+y)(x+y)'nin karesi, paydası ise (x−y)(x-y) ile (x+y)(x+y)'nin çarpımıdır. Sadeleştirme yapıldığında x+yx−y\frac{x+y}{x-y} elde edilir. xx ve yy değerleri toplandığında 272\sqrt{7}, çıkarıldığında ise 22 elde edildiği için bu oran 7\sqrt{7} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayırın.
Pay: x2+2xy+y2=(x+y)2x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2, Payda: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için ifadelerin çarpanlarına ayrılması gerekir.
2
Ortak çarpanları sadeleştirin.
(x+y)2(x−y)(x+y)=x+yx−y\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y}{x-y}
Hem payda hem de paydada bulunan (x+y)(x+y) terimi sadeleşir.
3
Verilen xx ve yy değerleri için x+yx+y ve x−yx-y toplamlarını hesaplayın.
x+y=(7+1)+(7−1)=27x+y = (\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = 2\sqrt{7} ve x−y=(7+1)−(7−1)=2x-y = (\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-1) = 2
Sadeleşmiş ifadede yerine koymak üzere temel toplam ve fark işlemleri yapılır.
4
Bulunan değerleri sadeleşmiş ifadede yerine yazarak sonucu bulun.
x+yx−y=272=7\frac{x+y}{x-y} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}
Sayısal değerlerin oranlanmasıyla en sade sonuca ulaşılır.

Key Concept

Tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanma.

Hints

1
İfadedeki rasyonel yapıyı sadeleştirmek için hem payı hem de paydayı çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
Paydaki x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 ifadesi bir tam kare açılımıdır. Paydadaki x2−y2x^2 - y^2 ise iki kare farkıdır.

Practice More

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerini içeren karma rasyonel ifadeler üzerinde pratik yapın.

Alternative Method

Özdeşlikleri kullanmadan doğrudan xx ve yy değerlerinin karesini alarak (x2=8+27x^2 = 8+2\sqrt{7}, y2=8−27y^2 = 8-2\sqrt{7}) ve çarparak (xy=6xy = 6) da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha uzun süreceği için özdeşlik sadeleştirmesi tercih edilmelidir.
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13
x4+x2y2+y4=273x^4 + x^2y^2 + y^4 = 273
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 17

Answer

Verilen eşitlikler ve özdeşlikler kullanılarak x2+y2x^2 + y^2 değeri 17 olarak bulunur.
Verilen x4+x2y2+y4x^4 + x^2y^2 + y^4 ifadesi (x2−xy+y2)(x2+xy+y2)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. 273 sayısı 13'e bölündüğünde x2+xy+y2=21x^2 + xy + y^2 = 21 değeri elde edilir. Bu eşitlik ile x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13 eşitliği toplandığında −xy-xy ve +xy+xy birbirini yok eder, geriye 2x2+2y2=342x^2 + 2y^2 = 34 kalır. Sonuç olarak x2+y2=17x^2 + y^2 = 17 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x4+x2y2+y4x^4 + x^2y^2 + y^4 ifadesini özdeşlik yardımıyla çarpanlarına ayırın.
x4+x2y2+y4=(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) olduğu bilinmektedir.
Dördüncü dereceden üç terimli ifadelerin çarpanlara ayrılma kuralını uygulamak.
2
Verilen sayısal değerleri yerine koyarak x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
273=13⋅(x2+xy+y2)⇒x2+xy+y2=21273 = 13 \cdot (x^2 + xy + y^2) \Rightarrow x^2 + xy + y^2 = 21 bulunur.
Bilinmeyen çarpanın değerini bulmak.
3
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak x2+y2x^2 + y^2 toplamına ulaşın.
x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13 ve x2+xy+y2=21x^2 + xy + y^2 = 21 denklemleri toplandığında 2(x2+y2)=342(x^2 + y^2) = 34 ve buradan x2+y2=17x^2 + y^2 = 17 elde edilir.
xyxy terimlerini yok ederek istenen toplamı yalnız bırakmak.

Key Concept

Üç terimli dördüncü derece özdeşliklerin (a4+a2b2+b4)(a^4+a^2b^2+b^4) çarpanlara ayrılması ve denklem sistemleri.
Question 18Question →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
(a+2b)2−(a−2b)2(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 8ab8ab

Answer

Verilen ifadenin en sade hali 8ab8ab olarak bulunur.
Doğru cevap olan ifade, (a+2b)2(a+2b)^2 ve (a−2b)2(a-2b)^2 açılımlarının farkı alındığında a2a^2 ve 4b24b^2 terimlerinin birbirini yok etmesi, ortadaki 4ab4ab terimlerinin ise eksi ile eksinin çarpımından dolayı artıya dönüşerek toplanması (4ab+4ab=8ab4ab + 4ab = 8ab) sonucunda elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İlk parantezin karesini açın.
(a+2b)2=a2+2(a)(2b)+(2b)2=a2+4ab+4b2 (a + 2b)^2 = a^2 + 2(a)(2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2
Tam kare toplam özdeşliği: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
2
İkinci parantezin karesini açın.
(a−2b)2=a2−2(a)(2b)+(2b)2=a2−4ab+4b2 (a - 2b)^2 = a^2 - 2(a)(2b) + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2
Tam kare fark özdeşliği: (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
3
İki ifadeyi birbirinden çıkarın ve eksi işaretini dağıtın.
(a2+4ab+4b2)−(a2−4ab+4b2)=a2+4ab+4b2−a2+4ab−4b2 (a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - 4ab + 4b^2) = a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2
Parantez önündeki eksi işareti içerideki tüm terimlerin işaretini değiştirir.
4
Benzer terimleri sadeleştirin.
(a2−a2)+(4b2−4b2)+(4ab+4ab)=8ab (a^2 - a^2) + (4b^2 - 4b^2) + (4ab + 4ab) = 8ab
Aynı dereceli ve aynı değişkenli terimler toplanır veya çıkarılır.

Key Concept

Tam kare özdeşliklerinin açılımı ve polinomlarda çıkarma işlemi.

Hints

1
İki terimin toplamının ve farkının karesi özdeşliklerini ayrı ayrı yazmayı deneyin.
2
(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ve (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 formüllerini her iki parantez için uygulayın.
3
İkinci parantezi açtıktan sonra önündeki eksi işaretini içeriye dağıtırken −(−4ab)-(-4ab) ifadesinin +4ab+4ab olacağına dikkat edin.

Practice More

Benzer bir yöntemle (3x+y)2−(3x−y)2(3x+y)^2 - (3x-y)^2 ifadesini sadeleştirmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Bu soruyu iki kare farkı özdeşliğini (X2−Y2=(X−Y)(X+Y)X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)) kullanarak da çözebilirsiniz. Burada X=(a+2b)X = (a+2b) ve Y=(a−2b)Y = (a-2b) olarak alınırsa: [(a+2b)−(a−2b)]⋅[(a+2b)+(a−2b)]=(4b)⋅(2a)=8ab[(a+2b) - (a-2b)] \cdot [(a+2b) + (a-2b)] = (4b) \cdot (2a) = 8ab sonucuna daha hızlı ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 19Question →
2564−512+19\sqrt{\frac{25}{64} - \frac{5}{12} + \frac{1}{9}} işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 724\frac{7}{24}

Answer

İşlemin sonucu 7/24'tür.
Verilen ifade, kök içinde rasyonel sayıların tam kare özdeşliğidir. Terimler incelendiğinde ifadenin (58−13)2(\frac{5}{8} - \frac{1}{3})^2 açılımı olduğu görülür. Karekök işlemi sonucunda ifade mutlak değer içinde dışarı çıkar ve kesir işlemi yapılarak doğru sonuç elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki sayıları üslü ifade olarak tanımla
2564=(58)2\frac{25}{64} = (\frac{5}{8})^2 ve 19=(13)2\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2
Tam kare özdeşliğini kullanabilmek için terimleri kare şeklinde yazarız.
2
Ortadaki terimi kontrol et
2⋅58⋅13=1024=5122 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}
İfadenin (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 formatına uyup uymadığını doğrularız. Ortadaki terim −5/12-5/12 ile eşleşmektedir.
3
İfadeyi tam kare parantezine al ve kök dışına çıkar
(58−13)2=∣58−13∣\sqrt{(\frac{5}{8} - \frac{1}{3})^2} = |\frac{5}{8} - \frac{1}{3}|
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralını uygularız.
4
Mutlak değer içindeki işlemi yap
58−13=15−824=724\frac{5}{8} - \frac{1}{3} = \frac{15 - 8}{24} = \frac{7}{24}
Paydaları eşitleyerek (24'te) çıkarma işlemini tamamlarız.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği ve Köklü İfadeler

Hints

1
Kök içindeki sayıların paydalarını eşitlemek yerine, sayıların tam kare olup olmadığını kontrol edin.
2
2564\frac{25}{64} ve 19\frac{1}{9} sayılarını üslü biçimde yazın ve ortadaki −512-\frac{5}{12} teriminin bu sayılarla ilişkisine bakın.
3
İfade a2−2ab+b2=∣a−b∣\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a-b| formundadır. a=58a=\frac{5}{8} ve b=13b=\frac{1}{3} alarak işlem yapın.

Alternative Method

Paydaları 576'da (64, 12 ve 9'un EKOK'u) eşitleyerek işlem yapmak: 225−240+64576=49576=724\sqrt{\frac{225 - 240 + 64}{576}} = \sqrt{\frac{49}{576}} = \frac{7}{24}.
Estimated Time:1m 30s
Question 20Question →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
(3x−2y)2(3x - 2y)^2
ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2

Answer

9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2 ifadesi verilen tam kare ifadenin doğru açılımıdır.
Tam kare farkı özdeşliği kuralı olan (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ifadesinde aa yerine 3x3x ve bb yerine 2y2y yazıldığında; (3x)2−2(3x)(2y)+(2y)2(3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2 işlemleri yapılarak 9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2 sonucuna ulaşılır. Bu, ifadenin matematiksel olarak tam ve doğru açılımıdır.

Step-by-Step Solution

1
Özdeşlik kuralını belirle.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
İfadenin yapısı iki terimin farkının karesi (tam kare) şeklindedir.
2
Terimleri kuraldaki yerlerine yerleştir.
a=3xa = 3x ve b=2yb = 2y
Verilen ifadede birinci terim 3x3x, ikinci terim ise 2y2y'dir.
3
Birinci terimin karesini al.
(3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2
Kuraldaki a2a^2 terimini hesaplamak gerekir.
4
Terimlerin çarpımının iki katını hesapla.
2⋅(3x)⋅(2y)=12xy2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy
Kuraldaki 2ab2ab terimini hesaplamak gerekir; aradaki işaret eksi olduğu için bu terim çıkarılacaktır.
5
İkinci terimin karesini al.
(2y)2=4y2(2y)^2 = 4y^2
Kuraldaki b2b^2 terimini hesaplamak gerekir; karenin sonucu her zaman pozitiftir.
6
Tüm terimleri birleştir.
9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2
Bulunan parçalar kurala uygun şekilde bir araya getirilir.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği: İki terimin toplamının veya farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, terimlerin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

Hints

1
Bu bir tam kare açılımıdır. (a−b)2(a-b)^2 formülünü hatırlamaya çalışın.
2
Açılımda üç terim olmalıdır: Birincinin karesi, ikisinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi.
3
(3x)2−2⋅(3x)⋅(2y)+(2y)2(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 işlemini yaparak katsayıları ve işaretleri dikkatle kontrol edin.

Practice More

Benzer şekilde (4x+5)2(4x + 5)^2 ifadesinin açılımını yaparak tam kare toplam özdeşliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Özdeşlik formülünü hatırlayamazsanız, (3x−2y)2(3x-2y)^2 ifadesini (3x−2y)⋅(3x−2y)(3x-2y) \cdot (3x-2y) şeklinde yazıp terimleri birbiri üzerine dağıtarak (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği) aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Page 1 / 2Next
Özdeşlikler Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin