Examkin

Question

Difficulty: HardÖzdeşlikler
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    47
  2. B
    79
  3. 119Answer
  4. D
    121
  5. E
    123

Answer

İfadenin doğru değeri 119'dur.
Soruda verilen x−1/xx - 1/x ifadesinden x4+1/x4x^4 + 1/x^4 ifadesine ulaşmak için zincirleme olarak iki kez tam kare alma işlemi uygulanmalıdır. İlk kare almada (a−b)2(a-b)^2 özdeşliğinden gelen -2 terimi karşıya +2 olarak geçer ve ara toplam 11 bulunur. İkinci kare almada (a+b)2(a+b)^2 özdeşliğinden gelen +2 terimi karşıya -2 olarak geçer ve sonuç 119 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 eşitliğinin her iki tarafının karesini al.
(x−1x)2=32⇒x2−2⋅x⋅1x+1x2=9\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 \Rightarrow x^2 - 2\cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9
x4x^4 terimine ulaşmak için önce x2x^2 terimini içeren ifadeyi bulmak gerekir.
2
Elde edilen ifadede sabit terimi karşıya atarak x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} değerini bul.
x2−2+1x2=9⇒x2+1x2=11x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 11
Tam kare açılımından gelen −2-2 sayısı eşitliğin diğer tarafına +2+2 olarak geçer.
3
Bulunan x2+1x2=11x^2 + \frac{1}{x^2} = 11 eşitliğinin tekrar her iki tarafının karesini al.
(x2+1x2)2=112⇒x4+2⋅x2⋅1x2+1x4=121\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 11^2 \Rightarrow x^4 + 2\cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 121
x4x^4 terimine ulaşmak için ikinci kez kare alma işlemi uygulanır.
4
Sabit terimi karşıya atarak sonuca ulaş.
x4+2+1x4=121⇒x4+1x4=121−2=119x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 121 \Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = 121 - 2 = 119
Bu adımda tam kare açılımından gelen +2+2 sayısı eşitliğin diğer tarafına −2-2 olarak geçer.

Key Concept

Tam Kare Özdeşlikleri

Hints

1
İstenen ifade x4x^4 kuvvetini içerdiğine göre, verilen ifadenin karesini alarak işe başlamayı deneyin.
2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliğini kullanarak önce x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} değerini bulun.
3
Bulduğunuz x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin tekrar karesini alın. Bu sefer (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 özdeşliğini kullanmanız gerekecek.

Practice More

x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 verildiğinde x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} değerinin sorulduğu küp açılımı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Polinom özdeşlikleri yerine, x4+1/x4=(x2+1/x2)2−2x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2 ve x2+1/x2=(x−1/x)2+2x^2 + 1/x^2 = (x-1/x)^2 + 2 formülleri doğrudan iç içe kullanılarak da hesaplanabilir: ((3)2+2)2−2((3)^2 + 2)^2 - 2.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic