Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3⋅y2<0 x^3 \cdot y^2 < 0
x⋅z>0 x \cdot z > 0
x+y>0 x + y > 0
y+z<0 y + z < 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. z<x<yz < x < yAnswer
  2. B
    x<z<yx < z < y
  3. C
    z<y<xz < y < x
  4. D
    y<x<zy < x < z
  5. E
    x<y<zx < y < z

Answer

Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Verilen eşitsizlikler adım adım incelendiğinde; xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu anlaşılır. x+y>0x+y > 0 ve y+z<0y+z < 0 eşitsizliklerinin birlikte değerlendirilmesi, negatif sayıların mutlak büyüklüklerini karşılaştırmamızı sağlar. ∣z∣>y>∣x∣|z| > y > |x| ilişkisinden dolayı negatif sayılar arasında z<xz < x sıralaması oluşur. Pozitif yy en büyük olduğu için doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
xx ve zz sayılarının işaretlerini belirle
xx negatif, zz negatiftir.
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 eşitsizliğinde y2y^2 daima pozitiftir, bu yüzden x3x^3 (ve dolayısıyla xx) negatif olmalıdır. x⋅z>0x \cdot z > 0 eşitsizliğinde xx negatif olduğu için sonucun pozitif olması adına zz de negatif olmalıdır.
2
yy sayısının işaretini belirle
yy pozitiftir.
x+y>0x + y > 0 eşitsizliğinde xx negatiftir. Toplamın pozitif olabilmesi için yy pozitif olmalı ve mutlak değerce xx'ten büyük olmalıdır (y>∣x∣y > |x|).
3
xx ve zz arasındaki büyüklük ilişkisini kur
z<xz < x şeklindedir.
y+z<0y + z < 0 eşitsizliğinde yy pozitiftir. Toplamın negatif olabilmesi için zz negatif olmalı ve mutlak değerce yy'den büyük olmalıdır (∣z∣>y|z| > y). Önceki adımdan y>∣x∣y > |x| olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla ∣z∣>∣x∣|z| > |x| olur. Her ikisi de negatif olduğundan, mutlak değeri büyük olan daha küçüktür (z<xz < x).
4
Tüm sıralamayı birleştir
z<x<yz < x < y
zz ve xx negatif olup z<xz < x ilişkisi vardır. yy pozitif olduğu için hepsinden büyüktür.

Key Concept

Eşitsizliklerde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

Hints

1
Önce çarpma işlemlerini kullanarak sayıların işaretlerini (+ veya -) belirleyin. Çift kuvvetler (y2y^2) daima pozitiftir.
2
x+y>0x+y > 0 olması, yy'nin xx'in mutlak değerinden büyük olduğunu gösterir (y>∣x∣y > |x|).
3
y+z<0y+z < 0 ifadesini kullanarak zz'nin mutlak değerinin yy'den büyük olduğunu fark edin (∣z∣>y|z| > y). Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde deneme yöntemi: x=−2x=-2 vererek koşulları sağlayan yy ve zz değerlerini bulmaya çalışın. Örneğin x=−2x=-2 ise y>2y>2 olmalı (ör: y=3y=3). y=3y=3 ise z<−3z<-3 olmalı (ör: z=−4z=-4). Sıralama: −4<−2<3-4 < -2 < 3.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic