Examkin

Question

Difficulty: Very hardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=3(y△x)+2x−4yx \triangle y = 3(y \triangle x) + 2x - 4y
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, a△3=13a \triangle 3 = 13 eşitliğini sağlayan aa değeri kaçtır?

  1. A
    -7
  2. B
    9
  3. 11Answer
  4. D
    13
  5. E
    15

Answer

Eşitliği sağlayan aa değeri 11'dir.
Verilen işlem kendi tersi cinsinden tanımlandığı için önce xx ve yy yer değiştirilerek bir denklem sistemi kurulur. Elde edilen iki denklemden y△xy \triangle x yok edilerek x△y=5x−y4x \triangle y = \frac{5x - y}{4} kuralı bulunur. Bu kuralda a△3=13a \triangle 3 = 13 eşitliği kullanıldığında a=11a=11 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikte xx ve yy yer değiştirilerek ikinci bir denklem elde edilir.
y△x=3(x△y)+2y−4xy \triangle x = 3(x \triangle y) + 2y - 4x
İşlem kuralında x△yx \triangle y ifadesi y△xy \triangle x'e bağlı olduğu için, y△xy \triangle x ifadesini x△yx \triangle y cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Elde edilen ikinci denklem, ilk denklemdeki y△xy \triangle x yerine yazılır.
x△y=3[3(x△y)+2y−4x]+2x−4yx \triangle y = 3[3(x \triangle y) + 2y - 4x] + 2x - 4y
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek yerine yerine koyma metodu ile x△yx \triangle y yalnız bırakılır.
3
Parantez içi dağıtılır ve ifade düzenlenir.
x△y=9(x△y)+6y−12x+2x−4yx \triangle y = 9(x \triangle y) + 6y - 12x + 2x - 4y
x△y=9(x△y)−10x+2yx \triangle y = 9(x \triangle y) - 10x + 2y
Cebirsel ifadeler düzenlenerek benzer terimler bir araya getirilir.
4
x△yx \triangle y terimleri bir tarafa toplanarak işlemin genel kuralı bulunur.
x△y−9(x△y)=−10x+2yx \triangle y - 9(x \triangle y) = -10x + 2y
−8(x△y)=−10x+2y-8(x \triangle y) = -10x + 2y
x△y=−10x+2y−8=5x−y4x \triangle y = \frac{-10x + 2y}{-8} = \frac{5x - y}{4}
İşlemin kuralı xx ve yy cinsinden net bir formüle dökülür.
5
Bulunan kuralda x=ax=a ve y=3y=3 değerleri yerine yazılarak sonuç 13'e eşitlenir.
5a−34=13\frac{5a - 3}{4} = 13
5a−3=525a - 3 = 52
5a=55⇒a=115a = 55 \Rightarrow a = 11
Soruda istenen aa değerini bulmak için elde edilen formül kullanılır.

Key Concept

İç içe tanımlı (rekürsif) özel işlemlerden genel kuralın elde edilmesi

Hints

1
Eşitlikte xx ve yy harflerinin yerlerini değiştirerek y△xy \triangle x için ikinci bir denklem yazmayı deneyin.
2
Elde ettiğiniz ikinci denklemi, soruda verilen ilk denklemdeki y△xy \triangle x yerine yazarak, sadece x△yx \triangle y, xx ve yy içeren bir ifade elde edin.
3
Denklemi düzenlediğinizde x△y=5x−y4x \triangle y = \frac{5x - y}{4} kuralını bulacaksınız. Şimdi değerleri yerine koyun.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, x∗y=2(y∗x)−xx \ast y = 2(y \ast x) - x gibi sorularla pratik yapın.

Alternative Method

Simetri metodu: u=x△yu = x \triangle y ve v=y△xv = y \triangle x olsun. Taraf tarafa toplama ve çıkarma yaparak (u+vu+v ve u−vu-v değerlerini bularak) uu değerini xx ve yy cinsinden çekebilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic