Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesinde, her x,yx, y için
xΔy=xy+3x+3y+mx \Delta y = xy + 3x + 3y + m
eşitliğiyle verilen işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunmaktadır.

Buna göre, bu işlemde tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. 8Answer
  5. E
    10

Answer

Tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı 8'dir.
İşlemin birim elemanı e=−2e=-2 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan sayılar için kurulan x2+6x+8=0x^2 + 6x + 8 = 0 denkleminin kökleri -2 ve -4 olduğundan çarpımları 8'dir.

Step-by-Step Solution

1
Birim elemanı (ee) ve bilinmeyen parametreyi (mm) bulmak için birim eleman tanımı (xΔe=xx \Delta e = x) kullanılır.
x⋅e+3x+3e+m=x  ⟹  e(x+3)=−2x−mx \cdot e + 3x + 3e + m = x \implies e(x+3) = -2x - m
Birim elemanın var olabilmesi için eşitliğin her xx değeri için sağlanması gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki katsayılar oranlanarak ee ve mm değerleri hesaplanır.
e−2=xx  ⟹  e=−2\frac{e}{-2} = \frac{x}{x} \implies e = -2. Sabit terimlerden: 3(−2)=−m  ⟹  m=63(-2) = -m \implies m = 6.
Polinom eşitliği ilkesi gereği xx'li terimlerin ve sabitlerin oranları tutarlı olmalıdır.
3
Tersi kendisine eşit olan sayıları bulmak için xΔx=ex \Delta x = e denklemi kurulur.
x⋅x+3x+3x+6=−2  ⟹  x2+6x+8=0x \cdot x + 3x + 3x + 6 = -2 \implies x^2 + 6x + 8 = 0
Bir elemanın tersi kendisine eşitse, o eleman kendisiyle işleme girdiğinde sonuç birim eleman (e=−2e=-2) olmalıdır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri ve çarpımı bulunur.
(x+4)(x+2)=0(x+4)(x+2) = 0 ise kökler x1=−4x_1 = -4 ve x2=−2x_2 = -2. Çarpım: (−4)⋅(−2)=8(-4) \cdot (-2) = 8.
Kökler çarpımı formülü (c/ac/a) veya köklerin doğrudan çarpımı ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemlerde Birim ve Ters Eleman

Hints

1
Öncelikle işlemin birim elemanını (ee) bulmalısın. Birim eleman tanımı: her xx için xΔe=xx \Delta e = x.
2
x(e+3)+3e+m=xx(e+3) + 3e + m = x eşitliğinin her xx için sağlanması, xx'in katsayısının ve sabit terimin uygun ayarlanmasını gerektirir.
3
Birim eleman e=−2e = -2 dir. Tersi kendisine eşit olması için xΔx=−2x \Delta x = -2 denklemini çözmelisin.

Practice More

Birim elemanı olmayan bir işlemde yutan elemanı bulmayı gerektiren bir soru çözülebilir.

Alternative Method

İşlem (x+3)(y+3)−3(x+3)(y+3) - 3 biçiminde düzenlenebilir (m=6m=6 olduğu görüldükten sonra). Bu formda birim eleman e+3=1  ⟹  e=−2e+3=1 \implies e=-2 ve tersi kendisine eşitlik (x+3)2=1(x+3)^2 = 1 şeklinde daha hızlı çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic