Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler

Gerçel sayılar kümesi üzerinde △\triangle ve ◯\bigcirc işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x△y=3x−2yx \triangle y = 3x - 2y
x◯y={(x△y)2,x<yy△x,x≥yx \bigcirc y = \begin{cases} (x \triangle y)^2, & x < y \\ y \triangle x, & x \ge y \end{cases}

Buna göre, k◯5=4k \bigcirc 5 = 4 eşitliğini sağlayan kk değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    192\frac{19}{2}
  2. B
    343\frac{34}{3}
  3. 736\frac{73}{6}Answer
  4. D
    252\frac{25}{2}
  5. E
    13

Answer

Doğru cevap, denklemi sağlayan üç farklı değerin toplamı olan \frac{73}{6}'dır.
Soruda verilen parçalı işlem tanımına göre kk değerinin 5'ten küçük veya büyük olmasına göre iki farklı denklem kurulmalıdır. k<5k < 5 için (3k−10)2=4(3k-10)^2=4 denkleminden k=4k=4 ve k=8/3k=8/3 kökleri bulunur; her ikisi de şartı sağlar. k≥5k \ge 5 için ise parametreler yer değiştirerek 5△k=15−2k=45 \triangle k = 15-2k=4 denklemi çözülür ve k=11/2k=11/2 bulunur; bu da şartı sağlar. Bu üç değerin toplamı 73/673/6 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
k◯5k \bigcirc 5 işlemini tanımlı koşullara göre iki ayrı durumda incele.
Durum 1: k<5k < 5 ve Durum 2: k≥5k \ge 5
Parçalı fonksiyon tanımı xx ve yy arasındaki büyüklük ilişkisine dayanmaktadır.
2
1. Durum (k<5k < 5) için denklemi çöz.
(k△5)2=4⇒(3k−10)2=4(k \triangle 5)^2 = 4 \Rightarrow (3k - 10)^2 = 4. Buradan ∣3k−10∣=2|3k - 10| = 2 elde edilir. Çözümler: 3k−10=2⇒k=43k-10=2 \Rightarrow k=4 ve 3k−10=−2⇒k=8/33k-10=-2 \Rightarrow k=8/3.
Karesi 4 olan sayılar 2 ve -2'dir. Her iki kök de k<5k < 5 şartını sağlar (4<54 < 5 ve 2,66...<52,66... < 5).
3
2. Durum (k≥5k \ge 5) için denklemi çöz.
5△k=4⇒3(5)−2k=45 \triangle k = 4 \Rightarrow 3(5) - 2k = 4. Buradan 15−2k=4⇒2k=11⇒k=11/215 - 2k = 4 \Rightarrow 2k = 11 \Rightarrow k = 11/2.
Tanım gereği x≥yx \ge y olduğunda işlem y△xy \triangle x olarak uygulanır. Bulunan 5,55,5 değeri k≥5k \ge 5 şartını sağlar.
4
Bulunan tüm geçerli kk değerlerini topla.
4+83+112=246+166+336=7364 + \frac{8}{3} + \frac{11}{2} = \frac{24}{6} + \frac{16}{6} + \frac{33}{6} = \frac{73}{6}
Rasyonel sayılarda toplama işlemi için paydalar 6'da eşitlenir.

Key Concept

Özel Tanımlı ve Parçalı Fonksiyonlar

Hints

1
İşlem parçalı tanımlandığı için kk değerinin 5'ten küçük olduğu durum ile 5'ten büyük veya eşit olduğu durumu ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
k<5k < 5 durumunda karşınıza (A)2=4(A)^2 = 4 şeklinde bir denklem çıkacaktır. Bu denklemin pozitif ve negatif olmak üzere iki çözümü olduğunu unutmayın.
3
k≥5k \ge 5 durumunda tanım gereği y△xy \triangle x uygulanmalıdır, yani xx ve yy yer değiştirmelidir. Bu durumda denklem 5△k=45 \triangle k = 4 halini alır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic