Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=3x+2y−2(yΔx)x \Delta y = 3x + 2y - 2(y \Delta x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 2Δ12 \Delta 1 işleminin sonucu kaçtır?

  1. A
    -6
  2. B
    1
  3. 2Answer
  4. D
    3
  5. E
    8

Answer

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen işlemde xΔyx \Delta y değeri yΔxy \Delta x değerine bağlıdır. Bu tür sorularda xx ve yy değerleri yer değiştirilerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. 2Δ12 \Delta 1 ve 1Δ21 \Delta 2 için kurulan denklemler çözüldüğünde doğru sonuç 2 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan işlemde x=2x=2 ve y=1y=1 değerlerini yerine koyarak birinci denklemi oluşturun.
2Δ1=3(2)+2(1)−2(1Δ2)⇒2Δ1=8−2(1Δ2)2 \Delta 1 = 3(2) + 2(1) - 2(1 \Delta 2) \Rightarrow 2 \Delta 1 = 8 - 2(1 \Delta 2)
İstenen değeri bulmak için verilen kural uygulanmalıdır.
2
Denklemde ortaya çıkan bilinmeyen 1Δ21 \Delta 2 ifadesini bulmak için, işlemde bu sefer x=1x=1 ve y=2y=2 değerlerini kullanın.
1Δ2=3(1)+2(2)−2(2Δ1)⇒1Δ2=7−2(2Δ1)1 \Delta 2 = 3(1) + 2(2) - 2(2 \Delta 1) \Rightarrow 1 \Delta 2 = 7 - 2(2 \Delta 1)
Tek denklemde iki bilinmeyen olduğu için (2Δ12 \Delta 1 ve 1Δ21 \Delta 2), ikinci bir denklem kurulması gerekir.
3
İkinci denklemde elde edilen 1Δ21 \Delta 2 ifadesini, birinci denklemde yerine yazarak çözümü tamamlayın.
2Δ1=8−2(7−2(2Δ1))⇒2Δ1=8−14+4(2Δ1)2 \Delta 1 = 8 - 2(7 - 2(2 \Delta 1)) \Rightarrow 2 \Delta 1 = 8 - 14 + 4(2 \Delta 1)
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodu kullanılır.
4
Elde edilen denklemi düzenleyip sonucu bulun.
2Δ1=−6+4(2Δ1)⇒3(2Δ1)=6⇒2Δ1=22 \Delta 1 = -6 + 4(2 \Delta 1) \Rightarrow 3(2 \Delta 1) = 6 \Rightarrow 2 \Delta 1 = 2
Cebirsel sadeleştirme ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin birbirine bağlı (rekürsif) olduğu durumların denklem sistemi kurarak çözülmesi.

Hints

1
İşlem tanımı kendi tersine (yΔxy \Delta x) bağlıdır. Öncelikle x=2,y=1x=2, y=1 yazarak bir eşitlik elde edin.
2
Elde ettiğiniz eşitlikte 1Δ21 \Delta 2 bilinmeyeni belirecektir. Bunu bulmak için denklemde bu kez x=1,y=2x=1, y=2 yazın.
3
2Δ1=a2 \Delta 1 = a ve 1Δ2=b1 \Delta 2 = b diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurup aa değerini çözebilirsiniz.

Practice More

Benzer bir mantıkla xΔy=2x−y+3(yΔx)x \Delta y = 2x - y + 3(y \Delta x) işlemi için alıştırma yapabilirsiniz.

Alternative Method

Genel çözüm için xΔy=Ax \Delta y = A ve yΔx=By \Delta x = B diyerek genel formül (x+4y)/3(x+4y)/3 olarak türetilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic