Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzdeşlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4
olduğuna göre, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    14
  2. B
    16
  3. 18Answer
  4. D
    20
  5. E
    22

Answer

Verilen ifadenin her iki yanının karesi alındığında ve tam kare özdeşliği uygulandığında sonuç 18 olarak bulunur.
Verilen x−1/x=4x - 1/x = 4 denkleminde her iki tarafın karesi alındığında, tam kare özdeşliği gereği x2−2(x)(1/x)+(1/x)2=16x^2 - 2(x)(1/x) + (1/x)^2 = 16 elde edilir. Buradaki −2-2 terimi eşitliğin sağ tarafına +2+2 olarak aktarıldığında 16+2=1816 + 2 = 18 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 eşitliğinin her iki yanının karesini alalım.
(x−1x)2=42\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4^2
İstenen x2x^2 ve 1x2\frac{1}{x^2} terimlerine ulaşmak için değişkenlerin karesine ihtiyaç vardır.
2
Tam kare özdeşliğini (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 uygulayalım.
x2−2⋅x⋅1x+1x2=16x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16
Parantez dışındaki karenin terimlere nasıl dağıldığını gösteren temel özdeşlik kuralıdır.
3
Ortadaki x⋅1xx \cdot \frac{1}{x} terimini sadeleştirelim.
x2−2+1x2=16x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16
Bir sayının çarpmaya göre tersi ile çarpımı 1'e eşittir.
4
−2-2 ifadesini eşitliğin karşı tarafına atarak istenen ifadeyi yalnız bırakalım.
x2+1x2=16+2=18x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2 = 18
Eşitliğin bir tarafındaki negatif terim diğer tarafa pozitif olarak geçer.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Hints

1
İstenen terimler kareli olduğu için verilen eşitliğin her iki yanının karesini alarak başlayın.
2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 özdeşliğini kullanırken ortadaki çarpım terimine dikkat edin.
3
xx ile 1/x1/x çarpıldığında birbirini sadeleştirerek sadece −2-2 sabit sayısını bırakacaktır.

Practice More

Benzer şekilde x+1/x=6x + 1/x = 6 verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 değerini hesaplayarak tam kare farkı ve toplamı arasındaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Özdeşliklerdeki dönüşüm formüllerinden biri olan a2+b2=(a−b)2+2aba^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab formülü doğrudan uygulanabilir. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınırsa x2+(1/x)2=(x−1/x)2+2(x)(1/x)x^2 + (1/x)^2 = (x - 1/x)^2 + 2(x)(1/x) olur. Verilenleri yerine koyduğumuzda 42+2=184^2 + 2 = 18 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic