Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=4x−2y+2(yΔx)x \Delta y = 4x - 2y + 2(y \Delta x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 3Δ53 \Delta 5 işleminin sonucu kaçtır?

  1. -10Answer
  2. B
    -6
  3. C
    -2
  4. D
    2
  5. E
    10

Answer

İstenen işlemin sonucu -10'dur.
Verilen işlemde 3Δ53 \Delta 5 değerini bulmak için 5Δ35 \Delta 3 değerine de ihtiyaç duyulur. Bu, iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturur. x=3,y=5x=3, y=5 için kurulan denklem ve x=5,y=3x=5, y=3 için kurulan denklem birlikte çözüldüğünde sonuç -10 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifadeye bir değişken atayarak denklemi basitleştirin.
3Δ5=A3 \Delta 5 = A ve 5Δ3=B5 \Delta 3 = B olsun.
İşlem kendi tersine bağlı olarak tanımlandığı için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmak gerekir.
2
Tanım kümesini kullanarak AA ve BB için iki ayrı denklem oluşturun.
1. Denklem (x=3,y=5x=3, y=5): A=4(3)−2(5)+2B⇒A=2+2BA = 4(3) - 2(5) + 2B \Rightarrow A = 2 + 2B
2. Denklem (x=5,y=3x=5, y=3): B=4(5)−2(3)+2A⇒B=14+2AB = 4(5) - 2(3) + 2A \Rightarrow B = 14 + 2A
Her iki durumu da yazarak AA ve BB arasındaki ilişkiyi buluruz.
3
İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak (yerine koyma metodu) AA değerini çözün.
A=2+2(14+2A)⇒A=2+28+4A⇒A=30+4AA = 2 + 2(14 + 2A) \Rightarrow A = 2 + 28 + 4A \Rightarrow A = 30 + 4A
Tek bilinmeyenli denkleme dönüştürerek sonucu bulmak için.
4
Elde edilen denklemi çözün.
A−4A=30⇒−3A=30⇒A=−10A - 4A = 30 \Rightarrow -3A = 30 \Rightarrow A = -10
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

İşlemin değişme özelliği olmadığında, xΔyx \Delta y ile yΔxy \Delta x ifadeleri birbirine eşit değildir ve bir denklem sistemi oluşturularak çözülmelidir.

Hints

1
Sorulan ifadeye AA (3Δ53 \Delta 5), tersine BB (5Δ35 \Delta 3) diyerek denklemi yazmayı deneyin.
2
AA değerini bulmak için BB'ye, BB'yi bulmak için de AA'ya ihtiyacınız var. xx ve yy değerlerini değiştirerek ikinci bir denklem kurun.
3
Elde ettiğiniz iki denklem: A=2+2BA = 2 + 2B ve B=14+2AB = 14 + 2A. İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak AA'yı çözün.

Practice More

Değişme özelliği olan (x⋆y=y⋆xx \star y = y \star x) ve olmayan işlemlerin karşılaştırıldığı soruları inceleyiniz.

Alternative Method

Genel çözüm yöntemi: xΔyx \Delta y ve yΔxy \Delta x için genel bir sistem çözülürse, bu işlem için xΔy=−2yx \Delta y = -2y genel kuralı bulunabilir. Buradan 3Δ5=−2(5)=−103 \Delta 5 = -2(5) = -10 sonucu doğrudan elde edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic