Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 3△63 \triangle 6 işleminin sonucu kaçtır?

  1. A
    4
  2. 6Answer
  3. C
    8
  4. D
    12
  5. E
    24

Answer

İstenen işlemin sonucu 6'dır.
Verilen işlem tanımı x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x) şeklindedir. Bizden 3△63 \triangle 6 istenmektedir. Bu ifadeye AA, tersi olan 6△36 \triangle 3 ifadesine BB diyelim. Tanımı her iki durum için yazarsak:
1. Durum (x=3,y=6x=3, y=6): A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2. Durum (x=6,y=3x=6, y=3): B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A

B'nin değerini birinci denklemde yerine yazarsak:
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifadeye A, işlemdeki ters sıralı ifadeye B diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluştur.
3△6=A3 \triangle 6 = A ve 6△3=B6 \triangle 3 = B olsun. Verilen tanımdan iki denklem yazılır:
1) A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2) B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A
İşlem tanımı kendi tersine (y △ x) bağlı olduğu için, değeri doğrudan bulamayız; bir denklem sistemi kurmamız gerekir.
2
İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak (substitüsyon yöntemi) A değerini bul.
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
Bilinmeyen sayısını bire indirerek denklemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çöz.
18=4A−A18 = 4A - A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6
A değeri soruda bizden istenen 3△63 \triangle 6 ifadesidir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin sonucu kendisine veya tersine bağlı olarak verilebilir. Bu tür 'döngüsel' tanımlarda değişken değiştirme yöntemiyle denklem sistemi kurularak çözüm yapılır.

Hints

1
İşlemin sonucunu doğrudan bulamazsınız çünkü tanım içinde işlemin kendisi (ters çevrilmiş halde) tekrar geçmektedir.
2
3△63 \triangle 6 ifadesine A, 6△36 \triangle 3 ifadesine B diyerek iki ayrı denklem yazmayı deneyin.
3
Elde ettiğiniz A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini ortak çözerek A değerini bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış ancak x⋆y=1/x+1/y−(y⋆x)x \star y = 1/x + 1/y - (y \star x) gibi rasyonel ifadeler içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Taraf tarafa toplama yöntemi: Elde edilen A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini düzenleyip (A+2B=24A + 2B = 24 ve 2A+B=212A + B = 21) taraf tarafa toplayarak 3(A+B)=45⇒A+B=153(A+B)=45 \Rightarrow A+B=15 bulabilir, sonra yerine koyarak A'yı çekebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic