Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ★\bigstar işlemi,

x★y={y−x,eg˘er x<y3x−y,eg˘er x≥yx \bigstar y = \begin{cases} y - x & , \text{eğer } x < y \\ 3x - y & , \text{eğer } x \ge y \end{cases}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, 5★m=125 \bigstar m = 12 eşitliğini sağlayan mm değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    12
  3. C
    17
  4. 20Answer
  5. E
    29

Answer

Eşitliği sağlayan değerlerin toplamı 20'dir.
Verilen parçalı işlem tanımına göre 5★m=125 \bigstar m = 12 eşitliği için iki durum söz konusudur. Birinci durumda (5<m5 < m), m−5=12m - 5 = 12 denkleminden m=17m=17 bulunur ve koşulu sağlar. İkinci durumda (5≥m5 \ge m), 3(5)−m=123(5) - m = 12 denkleminden 15−m=12⇒m=315 - m = 12 \Rightarrow m=3 bulunur ve bu da koşulu sağlar. Değerlerin toplamı 17+3=2017+3=20 eder.

Step-by-Step Solution

1
Parçalı fonksiyonun tanımına göre iki olası durumu belirle.
Durum 1: 5<m5 < m ise m−5=12m - 5 = 12. Durum 2: 5≥m5 \ge m ise 3(5)−m=123(5) - m = 12.
x★yx \bigstar y işlemi xx ve yy'nin büyüklük ilişkisine göre iki farklı kurala sahiptir. x=5x=5 ve y=my=m olduğu için her iki ihtimal de değerlendirilmelidir.
2
Birinci durumu (x<yx < y) çöz ve koşulu kontrol et.
m−5=12⇒m=17m - 5 = 12 \Rightarrow m = 17. Kontrol: 5<175 < 17 (Doğru).
Bulunan m=17m=17 değeri, işlemin bu dalı için gerekli olan 5<m5 < m koşulunu sağlamaktadır.
3
İkinci durumu (x≥yx \ge y) çöz ve koşulu kontrol et.
15−m=12⇒m=315 - m = 12 \Rightarrow m = 3. Kontrol: 5≥35 \ge 3 (Doğru).
Bulunan m=3m=3 değeri, işlemin bu dalı için gerekli olan 5≥m5 \ge m koşulunu sağlamaktadır.
4
Bulunan geçerli değerleri topla.
17+3=2017 + 3 = 20.
Her iki durumdan elde edilen çözüm kümesi {3,17}\{3, 17\} şeklindedir.

Key Concept

Parçalı Fonksiyonlarda Ters Görüntü

Hints

1
İşlem parçalı tanımlandığı için, mm sayısının 5'ten büyük mü yoksa küçük mü olduğunu bilmiyoruz. Her iki ihtimali de ayrı ayrı incelemelisin.
2
Önce 5<m5 < m varsayımını yapıp y−x=12y - x = 12 denklemini çöz, sonra 5≥m5 \ge m varsayımını yapıp 3x−y=123x - y = 12 denklemini çöz.
3
Birinci denklemden m−5=12m - 5 = 12, ikinci denklemden 15−m=1215 - m = 12 gelir. Bulduğun mm değerlerinin başlangıçtaki varsayımlarınla (örneğin m>5m > 5) çelişip çelişmediğini kontrol et.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic