Examkin

Question

Difficulty: MediumTekrarlı Permütasyon

Bir şehir plancısı, dik koordinat düzlemi üzerinde kare parsellere ayrılmış bir mahallede A(0,0)A(0,0) noktasından B(4,4)B(4,4) noktasına sadece sağa (pozitif xx yönü) veya yukarı (pozitif yy yönü) hareket ederek en kısa yoldan ulaşacaktır. Yol üzerindeki C(2,2)C(2,2) kavşağında devam eden altyapı çalışması nedeniyle bu noktadan geçiş yapılamamaktadır. **Buna göre, bu şehir plancısı AA noktasından BB noktasına kaç farklı rota kullanarak gidebilir?**

  1. A
    30
  2. 34Answer
  3. C
    36
  4. D
    48
  5. E
    70

Answer

Şehir plancısı, C noktasını kullanmadan toplam 34 farklı rota üzerinden A'dan B'ye ulaşabilir.
Doğru çözüm için önce kısıtlama olmaksızın tüm yolların sayısı (7070) hesaplanır. Ardından, geçilmesi yasak olan noktadan (C noktası) geçen tüm yollar (6×6=366 \times 6 = 36) belirlenir. Toplam yoldan bu yasaklı yollar çıkarıldığında (70−36=3470 - 36 = 34), şartı sağlayan rota sayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Tüm durumların hesaplanması
8!4!×4!=70 \frac{8!}{4! \times 4!} = 70
A(0,0) noktasından B(4,4) noktasına gitmek için 4 sağ ve 4 yukarı olmak üzere toplam 8 adım atılmalıdır. Bu durum tekrarlı permütasyon ile hesaplanır.
2
A noktasından yasaklı C noktasına giden yolların hesaplanması
4!2!×2!=6 \frac{4!}{2! \times 2!} = 6
A(0,0) noktasından C(2,2) noktasına ulaşmak için 2 sağ ve 2 yukarı adım gereklidir.
3
C noktasından B noktasına giden yolların hesaplanması
4!2!×2!=6 \frac{4!}{2! \times 2!} = 6
C(2,2) noktasından B(4,4) noktasına ulaşmak için yine 2 sağ ve 2 yukarı adım atılmalıdır.
4
C noktasından geçen toplam yol sayısının bulunması
6×6=36 6 \times 6 = 36
Bağımsız olayların çarpımı prensibine göre A'dan C'ye ve C'den B'ye giden yollar çarpılır.
5
Geçerli yolların hesaplanması
70−36=34 70 - 36 = 34
Tüm durumlardan, kısıtlamaya uymayan (C'den geçen) yollar çıkarılarak istenen sonuç elde edilir.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon ve yol problemlerinde kısıtlamalı (yasaklı nokta) durumların analizi.

Hints

1
Bu tür ızgara (grid) sorularında toplam yol sayısı, atılan toplam adımın tekrarlı permütasyonuna eşittir.
2
C noktasından geçmemek için, tüm durumlardan C noktasından geçen durumları çıkarmayı deneyin.
3
Önce A(0,0)A(0,0)'dan B(4,4)B(4,4)'e tüm yolları, sonra AA'dan CC'ye ve CC'den BB'ye olan yolları hesaplayıp birbirinden çıkarın.

Practice More

C noktasından geçmek 'zorunlu' olsaydı cevap ne olurdu? (Cevap 36 olacaktı).

Alternative Method

Izgara üzerindeki köşe noktalarına A'dan başlayarak 1 yazıp, her noktanın değerini solundaki ve altındaki komşu noktaların toplamı olacak şekilde toplayarak ilerleyebilirsiniz (Pascal üçgeni mantığı). Yasaklı C noktasının değerini 0 alarak B noktasına ulaştığınızda sonuç yine 34 çıkacaktır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic