Examkin

Question

Difficulty: Very hardÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy pozitif tam sayısı için aşağıdaki iki kuralı sağlamaktadır:

x△1=xx \triangle 1 = x
x△y=x⋅y+(x△(y−1))(y>1 ic¸in)x \triangle y = x \cdot y + (x \triangle (y-1)) \quad (y > 1 \text{ için})

Buna göre, 3△153 \triangle 15 işleminin sonucu kaçtır?

  1. A
    120
  2. B
    240
  3. 360Answer
  4. D
    480
  5. E
    720

Answer

İşlemin sonucu 360'tır.
Verilen işlem incelendiğinde, x△yx \triangle y ifadesinin x⋅y+x⋅(y−1)+⋯+x⋅1x \cdot y + x \cdot (y-1) + \dots + x \cdot 1 şeklinde açıldığı görülür. Bu ifade xx parantezine alındığında x⋅(1+2+⋯+y)x \cdot (1 + 2 + \dots + y) elde edilir. 1'den yy'ye kadar olan sayıların toplamı y(y+1)2\frac{y(y+1)}{2} formülü ile bulunur. x=3x=3 ve y=15y=15 değerleri yerine yazıldığında: 3⋅15⋅162=3⋅120=3603 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 3 \cdot 120 = 360 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen yinelemeli (rekürsif) bağıntıyı inceleyerek genel kuralı keşfet.
x △ y = x·y + x·(y-1) + ... + x·1 şeklinde açılabilir.
Tanım gereği her adımda y bir azaltılarak işlem tekrar etmektedir.
2
İfadeyi x parantezine alarak toplam formülüne dönüştür.
x △ y = x · (y + (y-1) + ... + 1)
Her terimde x çarpanı ortaktır.
3
Gauss toplam formülünü (1'den n'e kadar sayıların toplamı) uygula.
1 + 2 + ... + y = y(y+1)/2 olduğundan, Formül: x · [y(y+1)/2]
Ardışık sayıların toplamını hızlı hesaplamak için bu formül gereklidir.
4
Verilen değerleri (x=3, y=15) formülde yerine koy.
3 · [15 · 16 / 2] = 3 · [120] = 360
Sonuca ulaşmak için sayısal işlem yapılır.

Key Concept

Genelleme ve Örüntü Tanıma (Rekürsif Bağıntılar)

Hints

1
İşlemi küçük sayılarla deneyerek örüntüyü görmeye çalışın. Örneğin x△2x \triangle 2 ve x△3x \triangle 3 neye eşit olur?
2
Tanımı açtığınızda x△y=xy+x(y−1)+x(y−2)+…x \triangle y = xy + x(y-1) + x(y-2) + \dots şeklinde bir seri elde edersiniz. Ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
3
İşlem aslında xx sayısı ile 11'den yy'ye kadar olan tam sayıların toplamının çarpımıdır. n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünü kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla tanımlanan a⋆b=a+b+(a⋆(b−1))a \star b = a + b + (a \star (b-1)) işlemi için çözüm yöntemini düşünün.

Alternative Method

Formülü fark edemezseniz, işlemi gruplayarak yapabilirsiniz: 3△15=3⋅(15+14+⋯+1)3 \triangle 15 = 3 \cdot (15 + 14 + \dots + 1). Toplamı bulmak için baştaki ve sondaki sayıları toplayıp terim sayısının yarısı ile çarpabilirsiniz (Gauss yöntemi).
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic