Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Eşitsizlikler

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı x,yx, y ve zz sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x2<xx^2 < x
x⋅z>zx \cdot z > z
x+y<zx + y < z

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. y<z<xy < z < xAnswer
  2. B
    z<y<xz < y < x
  3. C
    x<z<yx < z < y
  4. D
    y<x<zy < x < z
  5. E
    z<x<yz < x < y

Answer

Sayıların doğru sıralanışı y<z<xy < z < x şeklindedir.
Verilen koşullar adım adım incelendiğinde; x2<xx^2 < x koşulu xx'in 0 ile 1 arasında (pozitif) olduğunu gösterir. x⋅z>zx \cdot z > z ifadesi z(x−1)>0z(x-1) > 0 olarak düzenlendiğinde, x−1x-1 negatif olduğu için zz'nin de negatif olması gerektiği bulunur. Son olarak x+y<zx+y < z ifadesinde xx pozitif olduğu için, yy'nin zz'den daha küçük olması gerekir (y<z−xy < z-x). Sonuç olarak sıralama y<z<xy < z < x olur.

Step-by-Step Solution

1
x2<xx^2 < x eşitsizliğini analiz et.
0<x<10 < x < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, bu sayı 0 ile 1 arasındadır. Bu durumda xx pozitif bir sayıdır.
2
x⋅z>zx \cdot z > z eşitsizliğinde zz'nin işaretini belirle.
z<0z < 0
Eşitsizliği z(x−1)>0z(x - 1) > 0 şeklinde düzenleyelim. 1. adımdan x<1x < 1 olduğunu biliyoruz, bu yüzden (x−1)(x - 1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için zz de negatif olmalıdır.
3
x+y<zx + y < z eşitsizliğini kullanarak yy ve zz arasındaki ilişkiyi bul.
y<zy < z
Eşitsizliği y<z−xy < z - x şeklinde yazabiliriz. zz negatiftir ve xx pozitiftir. Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında (z−xz-x), sonuç zz'den daha küçük (daha negatif) olur. Dolayısıyla yy kesinlikle zz'den küçüktür.
4
Tüm bulguları birleştirerek sıralamayı oluştur.
y<z<xy < z < x
y<zy < z (ve her ikisi negatif), xx ise pozitiftir (0<x<10 < x < 1). Bu nedenle en büyük sayı xx, en küçük sayı yy'dir.

Key Concept

Bir sayının karesi kendisinden küçükse sayı (0,1)(0,1) aralığındadır. Eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma/bölme yön değiştirir.

Hints

1
Önce x2<xx^2 < x eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının hangi aralıkta olduğunu bulunuz.
2
x⋅z>zx \cdot z > z eşitsizliğinde zz'yi sol tarafa alıp (xz−z>0xz - z > 0) çarpanlarına ayırarak zz'nin işaretini belirleyiniz.
3
zz'nin negatif, xx'in pozitif olduğunu bulduktan sonra, x+y<zx + y < z eşitsizliğinde yy'yi yalnız bırakarak yy ile zz arasındaki büyüklük ilişkisini inceleyiniz.

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizliklerde (∣x∣>x|x| > x gibi) işaret incelemesi gerektiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: x2<xx^2 < x için x=1/2x = 1/2 seçelim. x⋅z>z⇒z/2>z⇒z/2−z>0⇒−z/2>0⇒z<0x \cdot z > z \Rightarrow z/2 > z \Rightarrow z/2 - z > 0 \Rightarrow -z/2 > 0 \Rightarrow z < 0 olmalı, örneğin z=−2z = -2. x+y<z⇒1/2+y<−2⇒y<−2.5x + y < z \Rightarrow 1/2 + y < -2 \Rightarrow y < -2.5, örneğin y=−3y = -3. Sıralama: −3<−2<1/2-3 < -2 < 1/2 yani y<z<xy < z < x.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic