Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzdeşlikler
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x2+y2+4x−10y+29=0x^2 + y^2 + 4x - 10y + 29 = 0
olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    3
  3. -10Answer
  4. D
    -7
  5. E
    7

Answer

Verilen denklem tam kare ifadelere dönüştürüldüğünde x=−2x=-2 ve y=5y=5 değerlerine ulaşılır, bu değerlerin çarpımı ise -10 sonucunu verir.
Verilen denklemde x2+4xx^2+4x ve y2−10yy^2-10y ifadeleri, tam kareye tamamlanmak için sırasıyla 44 ve 2525 sayılarına ihtiyaç duyar. Sabit terim olan 2929 bu ihtiyacı tam olarak karşılar (29=4+2529 = 4 + 25). Bu durumda ifade (x+2)2+(y−5)2=0(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0 halini alır. Gerçel sayılarda karelerin toplamı sıfır ise her bir terim sıfır olmalıdır. Buradan x=−2x = -2 ve y=5y = 5 bulunur. Çarpımları ise −10-10 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi, değişkenleri kendi aralarında gruplandırarak ve sabit terimi bu gruplara uygun şekilde paylaştırarak yeniden düzenleyin.
x2+4x+4+y2−10y+25=0x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 0
29 sayısını 4 ve 25 olarak ayırmak, ifadeyi tam kare toplamları haline getirebilmemizi sağlar.
2
xx ve yy içeren grupları tam kare özdeşliklerini kullanarak çarpanlarına ayırın.
(x+2)2+(y−5)2=0(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 0
(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 özdeşliğini uygulamak için.
3
İki tam karenin toplamı sıfır ise, her bir tam karenin içinin sıfıra eşit olması gerektiğini kullanarak xx ve yy değerlerini bulun.
x+2=0⇒x=−2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 ve y−5=0⇒y=5y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5
Gerçel sayıların kareleri toplamı ancak her bir terim ayrı ayrı sıfır olduğunda sıfıra eşit olabilir.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini çarparak soruda istenen sonucu elde edin.
(−2)⋅5=−10(-2) \cdot 5 = -10
Soruda bizden xx ve yy değişkenlerinin çarpımı istendiği için.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği ve Kareler Toplamı

Hints

1
Denklemi tam kare ifadelerin toplamı ((...)2+(...)2=0(...)^2 + (...)^2 = 0) şeklinde yazmaya çalışın.
2
2929 sayısını 44 ve 2525 olarak ikiye ayırarak xx ve yy terimleriyle gruplandırın.
3
(x+2)2+(y−5)2=0(x+2)^2 + (y-5)^2 = 0 eşitliğini elde ettikten sonra, her bir parantezin içini sıfıra eşitleyin.

Practice More

Benzer bir mantıkla üç değişkenli (x, y ve z) tam kare tamamlama sorularını çözerek pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 20s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic