Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

ABCD bir yamuktur ve [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC]'dir. [AC][AC] ve [BD][BD] köşegenleri KK noktasında kesişmektedir.

A(DKC)=18 cm2A(DKC) = 18 \text{ cm}^2 ve A(AKB)=32 cm2A(AKB) = 32 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    50
  2. B
    74
  3. C
    90
  4. 98Answer
  5. E
    100

Answer

Yamuğun toplam alanı 98 cm²'dir.
Yamukta köşegenler çizildiğinde oluşan karşılıklı üçgenlerin (üst ve alt) alanları çarpımı, yan kanatların alanları çarpımına eşittir. Yan kanatların alanları birbirine eşit olduğundan (SS), S2=18⋅32=576S^2 = 18 \cdot 32 = 576 olur. Buradan yan alan S=24S = 24 bulunur. Toplam alan 18+32+24+24=9818 + 32 + 24 + 24 = 98 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Yamukta köşegenlerin oluşturduğu üçgenler arasındaki benzerlik ve alan ilişkisini belirle.
DKC ve AKB üçgenleri benzerdir (kelebek benzerliği). Yan kanatlardaki ADK ve BCK üçgenlerinin alanları birbirine eşittir (SS).
[AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] olduğu için △DKC∼△BKA\triangle DKC \sim \triangle BKA olur.
2
Yan kanatların alanını hesapla (SS). Yamukta yan alan, alt ve üst alanın geometrik ortalamasıdır: S=A(DKC)⋅A(AKB)S = \sqrt{A(DKC) \cdot A(AKB)}.
S=18⋅32=576=24 cm2S = \sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}^2.
Yamuksal bölgede karşılıklı yan alanların çarpımı, alt ve üst alanların çarpımına eşittir (S2=Au¨st⋅AaltS^2 = A_{üst} \cdot A_{alt}).
3
Tüm alanları toplayarak yamuğun toplam alanını bul.
A(ABCD)=18+32+24+24=98 cm2A(ABCD) = 18 + 32 + 24 + 24 = 98 \text{ cm}^2.
Toplam alan = Üst + Alt + Yan + Yan.

Key Concept

Yamukta Alan Özellikleri ve Benzerlik

Hints

1
Yamukta köşegenlerin ayırdığı dört üçgensel bölgeyi düşününüz. Alt ve üst üçgenlerin alanları verilmiştir.
2
Yanlarda kalan iki üçgenin (ADKADK ve BCKBCK) alanları birbirine eşittir.
3
Yan alanların her biri, alt ve üst alanların çarpımının kareköküne eşittir (S=A1⋅A2S = \sqrt{A_1 \cdot A_2}).

Practice More

Benzerlik oranı verilen bir yamukta alanların dağılımını inceleyen sorular çözünüz.

Alternative Method

Pratik Yol: Yamuğun alanı (Au¨st+Aalt)2(\sqrt{A_{üst}} + \sqrt{A_{alt}})^2 formülüyle de bulunabilir. (18+32)2=(32+42)2=(72)2=49⋅2=98(\sqrt{18} + \sqrt{32})^2 = (3\sqrt{2} + 4\sqrt{2})^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic