Examkin

Question

Difficulty: Very hardTekrarlı Permütasyon

Görsel Sanatlar dersinde bir öğrenci; elindeki özdeş 3 mavi, özdeş 3 kırmızı ve özdeş 3 sarı boncuğu bir ipe dizecektir.

Dizilimde aşağıdaki kurallara uyulması zorunludur:
1. Mavi boncukların tamamı yan yana olacaktır.
2. Herhangi iki sarı boncuk yan yana gelmeyecektir.
3. Dizilim, mavi boncuk ile bitmeyecektir.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı dizilim oluşturulabilir?

  1. A
    30
  2. 36Answer
  3. C
    40
  4. D
    48
  5. E
    60

Answer

Kurallara uygun 36 farklı dizilim vardır.
Mavi boncuklar tek blok (X) sayılır. X ve 3 Kırmızı (K) boncuk 4 farklı şekilde sıralanır. Oluşan 5 boşluğa 3 Sarı (S) boncuk C(5,3)=10 şekilde yerleşir. Toplam 40 dizilim vardır. Ancak dizi X ile biterse (KKKX) ve en sona S gelmezse dizi Mavi ile biter. Bu istenmeyen durum sayısı, KKKX iskeletinde son boşluğun boş kaldığı, diğer 4 boşluğa 3 S'nin yerleştiği C(4,3)=4 durumdur. Sonuç 40 - 4 = 36'dır.

Step-by-Step Solution

1
Mavi boncukları bloklama ve iskelet oluşturma
Maviler (M) tek bir 'X' birimi kabul edilir. Eldeki birimler: X, K, K, K. Bunların sıralanışı 4!/3! = 4 farklı şekilde olur: {XKKK, KXKK, KKXK, KKKX}.
Mavi boncukların bir arada olma şartı nedeniyle bloklama yöntemi kullanılır.
2
Sarı boncukları boşluklara yerleştirme (Ayraç Yöntemi)
4 birimlik iskelet (Örn: _ K _ K _ K _ X _) 5 boşluk yaratır. 3 sarı boncuk bu 5 boşluğa, her boşluğa en fazla bir tane gelecek şekilde C(5,3) = 10 farklı şekilde yerleşebilir.
Sarıların yan yana gelmeme şartı için boşluk (gap) yöntemi kullanılır.
3
Toplam olası durumları hesaplama (Son kural hariç)
4 (iskelet) × 10 (sarı yerleşimi) = 40 toplam durum.
Çarpma kuralı gereği iskelet ve sarı boncuk yerleşimleri çarpılır.
4
İstenmeyen durumları (Mavi ile bitenler) çıkarma
Dizilim, sadece iskelet 'KKKX' şeklinde bitiyorsa VE son boşluğa sarı boncuk gelmiyorsa mavi ile biter. İskeletin sonu X olan 1 durum vardır. Bu durumda son boşluk (X'in sağı) boştur. Kalan 4 boşluğa 3 sarı boncuk C(4,3) = 4 farklı şekilde yerleşir. İstenmeyen durum sayısı: 1 × 4 = 4.
Mavi boncuk ile bitmeme şartını sağlamak için tüm durumlardan mavi ile bitenler çıkarılır.
5
Sonucu bulma
40 (Tüm durumlar) - 4 (İstenmeyen durumlar) = 36.
Tüm geçerli durumlardan kısıtlamaya uymayanlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Ayraç Yöntemi

Hints

1
Mavi boncukların hepsini tek bir nesne (X) gibi düşünün. Kırmızıları da K harfi ile gösterin.
2
Sarı boncukların yan yana gelmemesi için, önce diğer boncukları (X ve K'ları) sıralayın, sonra oluşan boşluklara sarıları yerleştirin.
3
Tüm şartları sağlayan yerleşimlerden, 'sonunda Mavi boncuk olan' (yani X bloğu ile biten ve sonrasında sarı olmayan) durumları çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu 'en az bir sarı boncuk başta veya sonda olacak' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

İki ayrı durumu toplayarak çözebilirsiniz: 1) İskeletin Kırmızı ile bittiği durumlar (Sonra sarı gelse de gelmese de olur), 2) İskeletin Mavi ile bittiği ancak en sona Sarı boncuğun geldiği durumlar.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic