Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Eşitsizlikler
aa ve bb gerçel sayıları için,
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a|
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
  1. A
    a+b>0a + b > 0
  2. B
    a⋅b<0a \cdot b < 0
  3. C
    a>ba > b
  4. D
    b>−1b > -1
  5. a⋅b>a+ba \cdot b > a + bAnswer

Answer

Çarpımları toplamlarından büyüktür (a⋅b>a+ba \cdot b > a + b)
Doğru cevap, aa ve bb sayılarının her ikisinin de −1-1'den küçük olduğunu tespit ettikten sonra işaret incelemesi yapılarak bulunur. aa ve bb negatif olduğu için çarpımları pozitif, toplamları ise negatiftir. Pozitif bir değer, negatif bir değerden her zaman büyüktür.

Step-by-Step Solution

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini analiz edelim.
a<−1a < -1
Bir sayının küpünün kendisinden küçük, mutlak değerinden de küçük olması için (−1<a<0-1 < a < 0 aralığında a3>aa^3 > a olduğu için) aa sayısının −1-1'den küçük olması gerekir.
2
a⋅b+a>0a \cdot b + a > 0 eşitsizliğini çarpanlara ayırarak inceleyelim.
a(b+1)>0a(b + 1) > 0
Ortak çarpan parantezine alma işlemi uygulanır.
3
bb'nin aralığını belirleyelim.
b<−1b < -1
Çarpımın pozitif olması için çarpanların aynı işaretli olması gerekir. a<−1a < -1 olduğundan negatiftir. Bu durumda b+1b+1 de negatif olmalıdır (b+1<0  ⟹  b<−1b+1 < 0 \implies b < -1).
4
Seçenekleri değerlendirelim.
a⋅b>a+ba \cdot b > a + b daima doğrudur.
aa ve bb negatif olduğu için çarpımları (a⋅ba \cdot b) pozitif, toplamları (a+ba + b) negatiftir. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan daima büyüktür.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

Hints

1
a3<a<∣a∣a^3 < a < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayısının hangi aralıkta (pozitif mi, negatif mi, 0-1 arası mı vb.) olduğunu belirlemeye çalışın.
2
Eğer aa pozitif olsaydı a<∣a∣a < |a| (a<aa < a) imkansız olurdu. Demek ki aa negatif. Negatif sayılarda küpü kendisinden küçük olan aralık hangisidir?
3
a<−1a < -1 olduğunu bulduktan sonra, ikinci eşitsizliği a(b+1)>0a(b+1) > 0 şeklinde yazın. aa negatif olduğuna göre b+1b+1 ne olmalıdır?

Practice More

Mutlak değerli ve üslü eşitsizliklerin grafik üzerindeki bölgelerini inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic