Examkin

Question

Difficulty: MediumDörtgenler

Çevresi 4040 cm olan ABCDABCD eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları 33 ve 44 sayıları ile orantılıdır.

Buna göre, bu eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    24
  2. B
    48
  3. C
    60
  4. 96Answer
  5. E
    192

Answer

Eşkenar dörtgenin alanı 96 cm2\text{cm}^2 dir.
Doğru cevapta, önce çevre uzunluğundan kenar uzunluğu (10 cm) bulunmuş, ardından köşegenlerin birbirini dik ortalaması özelliği kullanılarak Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunlukları (12 ve 16 cm) hesaplanmıştır. Son olarak alan formülü (köşegenler çarpımının yarısı) doğru uygulanarak 96 sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bul.
Çevre 4040 cm olduğundan, bir kenar a=40/4=10a = 40 / 4 = 10 cm bulunur.
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
2
Köşegen uzunluklarını ve yarım köşegenleri oran sabiti kk cinsinden ifade et.
Köşegenler e=3ke = 3k ve f=4kf = 4k olsun. Köşegenler birbirini ortaladığından yarım köşegenler 3k2\frac{3k}{2} ve 4k2\frac{4k}{2} (yani 1.5k1.5k ve 2k2k) olur.
Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar.
3
Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını uygula.
(1.5k)2+(2k)2=102⇒2.25k2+4k2=100⇒6.25k2=100(1.5k)^2 + (2k)^2 = 10^2 \Rightarrow 2.25k^2 + 4k^2 = 100 \Rightarrow 6.25k^2 = 100.
Köşegenlerin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü eşkenar dörtgenin bir kenarıdır.
4
kk değerini ve köşegen uzunluklarını bul.
k2=16⇒k=4k^2 = 16 \Rightarrow k=4. Köşegenler: e=3⋅4=12e = 3 \cdot 4 = 12 cm, f=4⋅4=16f = 4 \cdot 4 = 16 cm.
Alan hesabı için gerçek köşegen uzunluklarına ihtiyaç vardır.
5
Alanı hesapla.
Alan =e⋅f2=12⋅162=96= \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96 cm2\text{cm}^2.
Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar ve alan köşegenler çarpımının yarısına eşittir.

Hints

1
Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığını hatırlayınız.
2
Köşegenlerin yarısını dik kenar, eşkenar dörtgenin bir kenarını hipotenüs kabul eden dik üçgeni oluşturunuz.
3
Köşegen uzunluklarına 3k3k ve 4k4k diyerek, dik kenarları 1.5k1.5k ve 2k2k olan Pisagor bağıntısını kurunuz.

Alternative Method

3-4-5 özel üçgeninin katlarını düşünerek, hipotenüsün 10 olduğu durumda dik kenarların 6 ve 8 olması gerektiğini doğrudan görebilirsiniz. Buradan köşegenler 12 ve 16 olur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic