Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Aşağıda verilen ABCDABCD ikizkenar yamuğunda [AB]//[DC][AB] // [DC] ve ∣AD∣=∣BC∣|AD| = |BC| eşitlikleri sağlanmaktadır.

[AC]⊥[BC][AC] \perp [BC] olduğu bilinmektedir.

∣AB∣=13|AB| = 13 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olduğuna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2cm^2 dir?

  1. A
    36
  2. B
    45
  3. 54Answer
  4. D
    60
  5. E
    72

Answer

ABCD yamuğunun alanı 54 cm²'dir.
İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler tabanda (a−c)/2(a-c)/2 uzunluğunda parçalar oluşturur. Soru kökünde verilen AC⊥BCAC \perp BC bilgisi, oluşan ACBACB üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir. Bu dik üçgende hipotenüse ait yükseklik Öklid bağıntısı (h2=p⋅kh^2=p \cdot k) ile bulunur. Taban parçaları 9 ve 4 cm olduğundan yükseklik 6 cm çıkar. Alan formülü ile sonuç 54 cm² bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Yamuğun yüksekliğini (hh) bulmak için CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirilir. Bu noktaya HH diyelim.
CH⊥ABCH \perp AB
İkizkenar yamukta yükseklik indirerek taban üzerinde oluşan parçaları bulmak standart çözüm yöntemidir.
2
İkizkenar yamuk özelliğini kullanarak ∣HB∣|HB| uzunluğunu hesapla.
∣HB∣=∣AB∣−∣DC∣2=13−52=4|HB| = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4 cm
İkizkenar yamukta köşelerden indirilen dikmeler, tabanda eş parçalar ayırır.
3
∣AH∣|AH| uzunluğunu hesapla.
∣AH∣=∣AB∣−∣HB∣=13−4=9|AH| = |AB| - |HB| = 13 - 4 = 9 cm
Öklid bağıntısını uygulayabilmek için hipotenüs üzerindeki her iki parçanın uzunluğu gereklidir.
4
ACBACB dik üçgeninde ([AC]⊥[BC][AC] \perp [BC] verildiği için) Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) uygula.
h2=∣AH∣⋅∣HB∣  ⟹  h2=9⋅4=36  ⟹  h=6h^2 = |AH| \cdot |HB| \implies h^2 = 9 \cdot 4 = 36 \implies h = 6 cm
Dik üçgende hipotenüse indirilen dikmenin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
5
Yamuğun alanını hesapla: Alan=a+c2⋅h\text{Alan} = \frac{a+c}{2} \cdot h
Alan=13+52⋅6=9⋅6=54\text{Alan} = \frac{13+5}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 cm²
Yamuğun alanı, alt ve üst tabanların aritmetik ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır.

Key Concept

İkizkenar Yamuk ve Öklid Bağıntısı

Hints

1
C köşesinden AB tabanına bir dikme indirerek ikizkenar yamuğun taban özelliklerini kullanın.
2
İkizkenar yamukta indirilen dikme, AB tabanını iki parçaya ayırır. Sağdaki küçük parça (13−5)/2(13-5)/2 formülüyle bulunur.
3
ACB üçgeni dik üçgendir (AC⊥BCAC \perp BC). Bu üçgende hipotenüse inen dikme için Öklid bağıntısını (h2=p⋅kh^2 = p \cdot k) uygulayarak yamuğun yüksekliğini bulun.

Practice More

Benzer bir soruda, köşegenlerin birbirine dik olduğu (AC⊥BDAC \perp BD) durumu inceleyiniz (Bu durumda h=(a+c)/2h = (a+c)/2 olur).

Alternative Method

Orta taban uzunluğu 9 cm'dir. İkizkenar yamukta köşegen yan kenara dik ise, h=p⋅kh = \sqrt{p \cdot k} formülüyle yükseklik bulunur ve Alan = Orta Taban ×\times Yükseklik formülü uygulanabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic